Τα παράδοξα του Ζήνωνα.

Συμβολή σε μιαν ατελείωτη συζήτηση.

 ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΜΕΤΖΕΝΙΩΤΗΣ

Ο Δ. Μετζενιώτης σπουδάζει φιλοσοφία στο Λονδίνο. Το άρθρο πού δημοσιεύουμε γράφτηκε ειδικά για την « Εποπτεία».

Ο. Πρόλογος

 0.1, ΣΤΟ ΔΟΚΙΜΙΟ αυτό θα ασχο­ληθούμε με τα τέσσερα παράδοξα —γνωστά σαν «παράδοξα της κί­νησης»— του Ζήνωνα του Ελεάτη (490-430 π.Χ.). Με τα παράδοξα αυτά ο Ζήνωνας υπερασπιζόταν την Παρμενίδια θέση, ότι η κίνηση είναι αδύνατη.

0.2. Στην εισαγωγή του παρόν­τος δοκιμίου θα δώσουμε μια μικρή περίληψη της Ελεατικής φιλοσοφί­ας, και κατόπιν —στα επόμενα κεφάλαια— θα ασχοληθούμε με κάθε ένα από τα παράδοξα, ξεχω­ριστά. Επί πλέον, θα προσπαθή­σουμε να δείξουμε ότι —προς με­γάλη ικανοποίηση του Ζήνωνα— τα παράδοξα αυτά δεν έχουν βρη ακόμα μια ικανοποιητική λύση.

0.3. Τέλος, θα θέλαμε να εκφρά­σουμε τις ευχαριστίες μας προς το μαθηματικό κ. Μάριο Γεωργάκη, στις σημαντικές παρατηρήσεις του οποίου πολλά οφείλει το παρόν. Φυσικά για μας κρατάμε την περί­εργη ικανοποίηση του ότι τα λάθη πού ενδεχομένως υπάρχουν εδώ, είναι δικά μας.

1. Εισαγωγή

1.1. ΑΝ ΠΑΡΟΥΜΕ την ιστορία των Ελληνικών μαθηματικών (του 5ου αιώνα π.Χ.), θα δούμε ότι οι Έλλη­νες μαθηματικοί ασχολήθηκαν —μεταξύ άλλων— και με τα προ­βλήματα του απείρως μικρού (ή απείρως μεγάλου) καθώς και με τα προβλήματα της συνέχειας και της ασυνέχειας.

Τα τελευταία αυτά προβλήματα μπορούν να τεθούν με τον ακόλου­θο τρόπο: «Θα έπρεπε να υποθέ­σουμε ότι ένα μέγεθος είναι απεί­ρως διαιρετό ή ότι —αντίθετα— είναι μία σύνθεση από πολύ μικρά αδιαίρετα μέρη;»

1.2. Υπάρχουν στοιχεία ότι στην Ελληνική αρχαιότητα, τουλάχιστον δύο σχολές σκέψης είχαν αναπτυχθή χρησιμοποιώντας μία από τις δύο αυτές υποθέσεις.

Μία από τις σχολές αυτές εκπρο­σωπείται από την πλατωνική σχο­λή και δέχεται την ιδέα της άπειρης διαιρετότητας των μεγεθών. Μία άλλη σχολή είναι η σχολή του Δημόκριτου του Αβδηρίτη (460-370 π. Χ) και των μαθητών του. Αυτή η σχολή απορρίπτει την ιδέα της συνεχείας και βασίζεται στην περίφημη θεωρία των «ατμήτων», (ατόμων).

1.3. Αλλά ποια είναι η θέση των «εκκεντρικών» Ελεατών σ’ αυτή την διαμάχη; Τί δέχονται; Συνέχεια ή ασυνέχεια; Τίποτα απ’ αυτά, γιατί γι’ αυτούς το πρόβλημα «συ­νέχεια ή ασυνέχεια» είναι ένα ψευδοπρόβλημα. Για τους Ελεάτες το πρόβλημα αυτό είναι χωρίς νόημα (meaningless) γιατί αναφέρεται στον σφαλερό κόσμο της εμφάνισης και όχι στο «όντως όν».

Σύμφωνα με τους Ελεάτες, όχι μόνο ο κόσμος φαίνεται να είναι διαφορετικός απ’ ό,τι είναι, αλλά και ο κόσμος που φαίνεται είναι άλλος από τον κόσμο που είναι. Έτσι, θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο Παρμενίδης (540-475 π.Χ.) και οι μαθητές του είναι οι πρώτοι στην ιστορία της δυτικής φιλοσοφίας πού διαχωρίζουν μεταξύ εμφάνι­σης και πραγματικότητας.

Κατά την άποψη τους, το «όντως ον» είναι αναλλοίωτο. Το να σκέ­φτεται κανείς ότι τα πράγματα αλλάζουν πράγματι, θα ήταν σαν να σκεφτόταν ότι αυτό το όποιο δεν είναι είναι∙ γιατί γι’ αυτούς το «είναι» έχει την πολύ δυνατή σημασία του «είναι ότι είναι το να είναι». Αν, π.χ., μιλάνε για το τί είναι ξύλο, μιλάνε —στην πραγμα­τικότητα— για το τί είναι το να είναι κάτι ξύλο, δηλαδή αναφέρον­ται στην ίδια τη φύση του ξύλου. Και το να είναι κάτι η ίδια η φύση του ξύλου σημαίνει το να είναι αυτό το κάτι ξύλο με όλους τους τρόπους και πάντοτε.

Έτσι, αν το ξύλο άλλαζε με κά­ποιο τρόπο, δεν θα ήταν πλέον ξύλο, και —κατ’ αυτόν τον τρό­πο— αυτό που είναι ξύλο θα απο­δεικνυόταν ότι δεν είναι ξύλο. Αλ­λά αυτό είναι σαν να ισχυριζόμα­στε ότι το «είναι» και το «μη - είναι» είναι το ίδιο. Αυτό όμως είναι μία λογική αντίφαση. Έτσι, για τους Ελεάτες, τα πράγματα δεν αλλά­ζουν επί πλέον δε, όταν παρατη­ρούμε κάποια αλλαγή είμαστε ακό­μα στο βασίλειο της πλάνης και της εμφάνισης.

Από την άλλη, οι Ελεάτες πί­στευαν ότι το «Όν» δεν έχει «μέ­ρη», αφού ένα «μέρος» δεν είναι ό,τι είναι το να είναι κάτι «Όλον». Έτσι, φαίνεται πως κατέληξαν στο δόγμα: «Εν το παν», (δες: Nehamas, (1981)).

1.4. Τα παράδοξα του Ζήνωνα σκόπευαν στην υπεράσπιση του παρμενιδίου δόγματος ότι η πρα­γματικότητα (το όντως ον) είναι αναλλοίωτη. Στο πρώτο παράδοξο (της διχοτομίας) η κίνηση είναι αδύνατη· στο δεύτερο (του Αχιλ­λέα και της χελώνας), ο Αχιλλέας αποτυγχάνει να φτάση μια προπο­ρευόμενη χελώνα. Στο τρίτο παρά­δοξο, (παράδοξο του Βέλους), ένα κινούμενο βέλος είναι στην πρα­γματικότητα ακίνητο. Τέλος, στο τέταρτο παράδοξο, (το παράδοξο του Σταδίου), ο Ζήνωνας δείχνει ότι ο χώρος και ο χρόνος δεν αποτελούνται από ελάχιστα, αδιαί­ρετα στοιχεία.

Στα δύο πρώτα παράδοξα, ο Ζήνωνας χρησιμοποιεί τις ιδέες του απείρου και του συνεχούς. Έτσι, απ’ αυτή την άποψη, όπως γράφει ο Β. Russell  «Τα επιχειρήμα­τα του Ζήνωνα, σε κάποια τους μορφή, έχουν δώσει τις βάσεις για όλες σχεδόν τις θεωρίες του χώρου και του απείρου που έχουν προταθή από την εποχή του, έως τις ημέρες μας».

Φαίνεται ότι ο Ζήνων, στα δύο πρώτα παράδοξα, χρησιμοποιεί την θεωρία του Αναξαγόρα (500; - 428 π. Χ) για το συνεχές. Για τον Ανα­ξαγόρα, το πιο ουσιαστικό χαρα­κτηριστικό του συνεχούς μπορεί να περιγραφή με τον ακόλουθο τρόπο: «Μεταξύ των μικρών, δεν υπάρχει το ελάχιστο, αλλά —πάν­τα— κάτι μικρότερο. Γιατί ό,τι είναι δεν παύει να είναι όσες φορές και αν υποδιαιρεθή». (Η. Weyl, (1963)).

Κατά την άποψη μας, αυτή η περιγραφή είναι όμοια με τον χαρα­κτήρα του συνεχούς πού θα εξετά­σουμε στην §2.1. του παρόντος. Και αυτό γιατί θεωρούμε ότι η πρόταση: «Μεταξύ των μικρών δεν υπάρχει το ελάχιστο, αλλά —πάν­τα— κάτι μικρότερο...» υπονοεί την ιδιότητα της πυκνότητας που αποδίδεται στη σύγχρονη ιδέα για το συνεχές.

Μπορεί να ειπωθή ότι η διαφορά μεταξύ του Ζήνωνα και των επικρι­τών του έχει τις ρίζες της ακριβώς στην θέση του Αναξαγόρα για το συνεχές. Γιατί, για τον Ζήνωνα, το να λέμε ότι: «... ό,τι είναι δεν παύει να είναι, όσες φορές και αν υποδι­αιρεθή...» είναι το ίδιο με το να λέμε ότι ή ακολουθία των υποδιαι­ρέσεων είναι απέραντη.

Έχει προταθή (δες Eves (1953)), ότι η πρώτη ουσιαστική απάντηση που δόθηκε στα πρώτα δύο παρά­δοξα, ήταν αυτή που έδωσε η Πλατωνική σχολή. Αυτή είναι η περίφημη «μέθοδος της εξάντλη­σης» που συνήθως αποδίδεται στον Εύδοξο (408 — 355 π.Χ.). Η μέθο­δος αυτή δέχεται την ιδέα της άπειρης διαιρετότητας των μεγε­θών και έχει σα βάση της την πρόταση: «Αν από κάποιο μέγε­θος αφαιρεθή ένα μήκος όχι μικρό­τερο από το μισό του, από το υπόλοιπο άλλο μέρος όχι μικρότε­ρο από το μισό του, κ.ο.κ., θα μείνη τελικά ένα μέγεθος μικρότερο από κάθε προκαθορισμένο μέγεθος του ιδίου είδους».

Κατά την άποψη μας, αυτό που εννοεί ο Ευδοξος είναι ότι μέσω της διαδικασίας των αφαιρέσεων ή υποδιαιρέσεων ενός δεδομένου με­γέθους μπορούμε να «εξαντλήσου­με» αυτό το μέγεθος. Επιπλέον, θεωρούμε ότι η «μέθοδος της εξάν­τλησης» είναι ο πρόδρομος της σύγχρονης θεωρίας των ορίων. Εί­ναι δε αυτή η τελευταία θεωρία πού χρησιμοποιείται από τους σύγ­χρονους μαθηματικούς για να διαφωτισθούν τα δύο πρώτα παράδο­ξα του Ζήνωνα.

Στις σελίδες που ακολουθούν θα παρουσιάσουμε κάθε ένα από τα παράδοξα του Ζήνωνα καθώς και μερικές προσπάθειες πού έχουν γίνει για την λύση τους. Τελικά σε κάθε ένα από αυτά θα εκφράσουμε την άποψη μας για τις προσπάθειες αυτές και θα βγάλουμε τα συμπε­ράσματα μας.

2. Το Παράδοξο της διχοτομίας

2.1. ΣΤΗΝ ΜΟΝΤΕΡΝΑ φιλοσοφία, τόσο το παράδοξο της διχοτομίας όσο και αυτό του Αχιλλέα και της χελώνας, θεωρούνται ότι αποτε­λούν πρόκληση για την σύγχρονη μαθηματική φυσική και ιδιαίτερα, για το ότι αυτή θεωρεί τα χωρικά και χρονικά διαστήματα σαν να είναι μαθηματικά γραμμικά συνεχή σημείων. Στην μοντέρνα φυσική, ένα ευθύγραμμο χωρικό διάστημα είναι ένα γραμμικό μαθηματικό συ­νεχές σημείων, το κάθε ένα από τα όποια έχει μηδενικό μήκος και, ένα χρονικό διάστημα θεωρείται ότι είναι ένα γραμμικό μαθηματικό συ­νεχές στιγμών, η κάθε μία από τις όποιες έχει διάρκεια μηδέν.

Τα βασικά χαρακτηριστικά του συνεχούς είναι τα ακόλουθα: (α): η ιδιότητα της πυκνότητας: (δηλ: δε­χόμαστε ότι μεταξύ δύο οποιωνδή­ποτε σημείων του συνεχούς υπάρ­χει μια πυκνή απειρία άλλων σημεί­ων (β): δεχόμαστε ότι για κάθε σημείο του συνεχούς δεν υπάρχει επόμενο σημείο∙ και (γ): ιδιαίτερα, όταν αναφερόμαστε σε χρονικό διάστημα, δεχόμαστε ότι κάθε στι­γμή αυτού του διαστήματος είναι δυνάμει ο χρόνος ενός φυσικού συμβάντος.

Η ιδιότητα της πυκνότητας, που αποδίδεται σε ένα διάστημα, μας επιτρέπει να πούμε ότι μία ακολου­θία υποδιαστημάτων φθίνοντος με­γέθους, τείνει στο μηδέν. Από την άλλη, στην περίπτωση που ο χώ­ρος και ο χρόνος είναι κβαντισμένα μεγέθη (δηλ. όταν δεχόμαστε ότι υπάρχουν ελάχιστα και αδιαίρε­τα στοιχεία (κβάντα του χώρου και του χρόνου), η διαδικασία των υποδιαιρέσεων ενός μεγέθους σύν­τομα φθάνει σε ένα τέλος με το φτάσιμο στο κβάντο αυτού του μεγέθους.

Και τώρα μετά από αυτές τις παρατηρήσεις για το συνεχές, θα παρουσιάσουμε δύο εκδοχές του παραδόξου της διχοτομίας.

2.2.α. Εάν ένα ευθύγραμμο τμή­μα είναι απείρως διαιρετό τότε η κίνηση είναι αδύνατη, γιατί για να διανύση ένας δρομέας ένα μοναδι­αίο ευθύγραμμο τμήμα, πρέπει πρώ­τα να πέραση από το μέσο του, αλλά πριν το κάνει αυτό, πρέπει πρώτα να περάσει από το μέσο του μέσου, και για να το κάνει αυτό πρέπει πρώτα να περάσει από το μέσο του μέσου του μέσου, κ.ο.κ., επ’ άπειρον. Από αυτό συνεπάγεται ότι ή κίνηση δεν αρχίζει ποτέ». [Eves. (1953)].

   0  1/4            1/4              1/4              1/4  1   

              ¼              ½              ¼

              ½                                ½   

Η πρώτη εκδοχή του παραδόξου μας φέρνει αντιμέτωπους με μία παλινδρόμηση επικαλυπτόμενων υποδιαστημάτων φθίνοντος μεγέ­θους:

                        …½ , ½  …   ¼ , ½ 

όπου n = ... 3, 2, 1.

Η ακολουθία αυτών των υποδια­στημάτων έχει τελευταίο, αλλά δεν έχει πρώτο μέλος δηλ., είναι μία απέραντη ακολουθία.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο συνο­λικός χρόνος, που απαιτείται για την διάνυση του μοναδιαίου δια­στήματος, είναι ένα λεπτό. Επί πλέον, αν υποθέσουμε α) ότι ο χρόνος που αντιστοιχεί για την διάνυση του υποδιαστήματος που έχει μήκος 1/2 είναι 1/2 min, και β) ότι ο χρόνος που αντιστοιχεί για τη διάνυση του υποδιαστήματος μή­κους 1/4, είναι 1/4 min, κ.ο.κ., μπορούμε να σχηματίσουμε την παρακάτω ακολουθία των χρονι­κών υποδιαστημάτων (τα οποία είναι φθίνοντος μεγέθους):

                        …½ ,  …   ¼ , ½ 

όπου n = ... 3, 2, 1.

και αυτή η ακολουθία δεν έχει πρώτο μέλος, δηλ: είναι και αυτά μία απέραντη ακολουθία.                                                           Έτσι, το πρόβλημα πού τίθεται εδώ είναι πώς μπορούμε να φτά­σουμε στο σημείο του προ                 ορισμού μας (το όποιο - εδώ - είναι το σημείο Ω του ευθυγράμμου τμήματος πού παριστάνεται στο Δγρ. 1) μέσω της απέραντης ακολουθίας των ύπόδι­αστημάτων του χώρου και του χρόνου.

Τώρα, θα  παρουσιάσουμε  την δεύτερη εκδοχή του παραδόξου της διχοτομίας.

2.2.b. Σύμφωνα μ’ αυτή την εκδοχή, αν ο δρομέας πρόκειται να διανύση το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα (βλ. δγρ. 1), πρέπει πρώτα να φτάση το μέσο του, μετά θα πρέπη να φτάση το μέσο του υπο­λοίπου τμήματος, και μετά το μέσον του υπολοίπου, κ.ο.κ, επ’ άπειρον. Δηλαδή: ο δρομέας, για να διανύση το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα, πρέπει —μεταξύ άλλων— να διανύ­ση διαδοχικά μια πρόοδο μή-επικα­λυπτόμενων χωρικών υποδιαστη­μάτων, τα μήκη των οποίων είναι:

                        …½ , ½ ,  … , ½ , … 

όπου n = ... 1, 2…

Από αυτό συμπεραίνουμε ότι ο δρομέας δεν θα φτάση ποτέ το σημείο του προορισμού του [δηλ. το σημείο 1 του ευθυγράμμου τμή­ματος (Δγρμ. 1)].

Η δεύτερη μορφή του παραδόξου μας φέρνει αντιμέτωπους με μία πρόοδο μή-επικαλυπτόμενων υπο­διαστημάτων φθίνοντος μεγέθους. Αυτή η πρόοδος έχει ένα πρώτο αλλά όχι και τελευταίο μέλος., δηλ.: είναι μία απέραντη ακολου­θία.

Ας υποθέσουμε ότι ο ολικός χρό­νος πού απαιτείται για την διάνυση του ολικού διαστήματος είναι ένα λεπτό. Υιοθετώντας τις ίδιες υποθέ­σεις για τον χρόνο που χρειάζεται για την διάνυση κάθε ενός από τα χωρικά υποδιαστήματα —όπως στην πρώτη εκδοχή του παραδό­ξου— αποκτούμε την παρακάτω ακολουθία των χρονικών υπόδια­στημάτων:

                    ½ ,  ¼ ,  

όπου n = 1, 2, 3,...

Η ακολουθία αυτή δεν έχει τελευ­ταίο μέλος. Το πρόβλημα που τίθε­ται εδώ είναι πώς μπορούμε να φτάσουμε το σημείο του προορι­σμού μας [δηλ.: το σημείο 1 δγρμ.(Ι)] μέσω των απέραντων ακολουθιών των χωρικών και χρονικών υποδια­στημάτων.

Κατ’ αυτόν τον τρόπο, θεωρού­με ότι είναι, ουσιατικά, το ίδιο πρόβλημα που τίθεται από την πρώτη και την δεύτερη εκδοχή του παραδόξου.

Και τώρα θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε διάφορες προσπά­θειες πού έχουν γίνει για να δοθή μία λύση σ’ αυτό το παράδοξο.

2.3. Έχει ύποστηριχθή, [βλ. με­ταξύ άλλων: Whitrow (1961)] ότι στην πρώτη εκδοχή του παραδόξου της διχοτομίας, ο Ζήνωνας ισχυρί­ζεται ότι αν ο δρομέας είχε φτάσει το σημείο του προορισμού του [σημείο 1, δγρμ. (1)], θα είχε απαιτηθή άπειρος παρελθόντας χρόνος, ενώ —στην δεύτερη εκδοχή του παραδόξου— ισχυρίζεται ότι ο δρο­μέας, αν πρέπει να διανύση την πρόοδο των υποδιαστημάτων στον απαιτούμενο χρόνο, θα απαιτηθή άπειρος μελλοντικός χρόνος.

Έτσι, κατά τον Whitrow, ο δρομέ­ας ποτέ δεν φτάνει στον προορισμό του.

Ο Whitrow φτάνει σ’ αυτό το συμπέρασμα επειδή ταυτίζει την διάνυση των υποδιαστημάτων της απέραντης ακολουθίας από τον δρομέα, με την προσπάθεια του δρομέα (ή την δική μας) να θεώρη­ση ένα -προς- ένα (δηλ.: να αρίθμη­ση) όλα τα υποδιαστήματα που ανήκουν σ’ αυτή την ακολουθία, διαδοχικά. Και φαίνεται ότι για τον Whitrow, ενώ αυτά τα χωρικά υπο­διαστήματα είναι φθίνοντος μεγέ­θους, τα υποδιαστήματα του χρό­νου πού απαιτείται για την 1-1 θεώρηση των χωρικών υποδιαστη­μάτων δεν είναι φθίνοντος μεγέ­θους διότι υπάρχει ένα κάτω φρά­γμα στην διάρκεια των νοητικών μας πράξεων (δηλ. υπάρχουν αν­θρώπινα minima perceptibilia) [βλ. Grünbaum (1968)]. Αυτό, μαζί με το γεγονός ότι η ακολουθία των νοητι­κών μας πράξεων είναι απέραντη (αφού η ακολουθία των χωρικών υποδιαστημάτων είναι απέραντη) οδήγησαν τον Whitrow στο συμπέ­ρασμα ότι ο ολικός χρόνος που απαιτείται για την επιτυχή ένα-πρός-ένα θεώρηση των χωρικών υπο­διαστημάτων, πρέπει να είναι άπει­ρος. Πρέπει, δε, ο χρόνος αυτός να είναι άπειρος αφού είναι το άθροισμα των απείρων ορών μιας απέ­ραντης ακολουθίας θετικών διαρ­κειών, που δεν τείνει στο μηδέν.

Από αυτά, ο G.J. Whitrow συμπε­ραίνει ότι η πυκνότητα που αποδί­δεται στον φυσικό χρόνο οδηγεί σε λογικές αντινομίες.

2.4. Σύμφωνα με τον Grünbaum (1968), η άποψη του Whitrow είναι λανθασμένη. Κατά τον Grünbaum, αυτό που γεννά τις λογικές αντινο­μίες δεν είναι η πυκνότητα του φυσικού χρόνου. Το λάθος του Whitrow βρίσκεται στην —από μέ­ρους του Whitrow, ατυχή ταύτιση της διάνυσης των υποδιαστημάτων από τον δρομέα με την προσπάθεια του τελευταίου (ή την δική μας) να μέτρηση ενα-πρός-ενα τα υποδια­στήματα της απέραντης ακολουθί­ας. Με την υπόθεση του αυτή, ο Whitrow, παραδέχεται σιωπηρά ότι η διακριτή χρονική τάξη των γεγο­νότων (ή οποία αναδύεται από τα minima perceptibilia του ανθρώπου) είναι κανονιστική για την θεωρητι­κή κατανόηση των φυσικών συμ­βάντων.

Σύμφωνα με τον Grünbaum, όταν βασιζόμαστε στα ανθρώπινα minima perceptibilia, δεν είμαστε μετρικά δίκαιοι σχετικά με την πρα­γματική διάρκεια του χρόνου πού απαιτείται για την διάνυση κάθε ενός από τα υποδιαστήματα.

Η άποψη του είναι ότι η πυκνότη­τα του φυσικού χρόνου και χώρου μας επιτρέπει να πούμε ότι ο δρομέ­ας διανύει ολοένα μικρότερα δια­στήματα χώρου σε ανάλογα ολοέ­να μικρότερο χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι τόσο ή ακολουθία των χωρικών υποδιαστημάτων, όσο και η ακο­λουθία των υποδιαστημάτων του χρόνου, τείνουν στο μηδέν με τον τρόπο μιας φθίνουσας γεωμετρικής προόδου: π.χ.:

                        …½ , ¼ , …, ½ , …

όπου n = l, 2,...

Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιή­σουμε τον standard μαθηματικό οριακό ορισμό του αθροίσματος των όρων της άπειρης ακολουθίας των υποδιαστημάτων για να βρούμε το μήκος της ένωσης αυτών των ύποδιαστημάτων που είναι ίση με το μήκος του ολικού διαστήματος. Στην περίπτωση του μοναδιαίου διαστήματος του δγρμ. (1) και της άπειρης ακολουθίας των υποδια­στημάτων του

                        …½ , ¼ , …, ½ , …

(n = 1,2, ...)

το άθροισμα Sn των απείρων ορών της φθίνουσας γεωμετρικής προό­δου, δίδεται από τον τύπο:

_Sn =     

 [;oπου: S = α, αω, aia-,..., αω',... είναι μία γεωμετρική πρόοδος και Sn = είναι το αριθμητικό άθροισμα αυτής της προόδου όταν /ω/ < 1 . (βλ. Σαραντόπουλος: ( 1956)].

O αριθμός 1 πού έχουμε βρει αντιπροσωπεύει (α): το μήκος του ολικού διαστήματος, και (β): το τελικό σημείο της κίνησης του δρο­μέα.

O Grünbaum επισημαίνει ότι o δρομέας φτάνει το τελικό σημείο 1 της κίνησης του, μετά την πρόοδο των yποδιαστημάτων, γιατί αυτό το τελικό σημείο δεν ανήκει σε κανένα από τα υποδιαστήματα της προόδου, αφού πρόκειται περί μιας απέραντης προόδου ποy δεν έχει τελευταίο ορό. Επίσης ό Grün­baum σημειώνει οτι «για καθαρά λογικούς λόγους δεν μπορούμε ποτέ να βρούμε την τελική στιγμή της κίνησης σε κανένα υποδιάστημα στο οποίο αυτή δεν ανήκει, και αυτό ισχύει για όλα τα υποδιαστή­ματα της προόδου» [Grünbaum (1968)]. Από την άλλη, κατά την άποψη του, δεν μπορούμε από αυτό να συμπεράνουμε ότι ο δρο­μέας δεν μπορεί ποτέ να φτάση το τελικό σημείο της κίνησης του [το όποιο εδώ είναι το σημείο 1, δγρμ. (1)] επειδή μπορεί να υπάρχει μια στιγμή αργότερα (μετά) από όλα τα υποδιαστήματα της προόδου, πού είναι ή τελευταία της κίνη­σης.

Αλλά, κατά την άποψη μας, αυτό που φαίνεται να λέει ο Grünbaum είναι ότι ο δρομέας λογικά «υπερ­βαίνει» μια πρόοδο την οποία λο­γικά δεν μπορεί να ύπερβή αφοϋ είναι μία απέραντη πρόοδος. Και, κατ’ αυτόν τον τρόπο, χρησιμοποι­εί ένα λογικό παράδοξο για να διαφώτιση μια ασυμφωνία πού υ­πάρχει μεταξύ της εμπειρίας μας και της μαθηματικής κατανόησης αυτής της εμπειρίας.

2.5. Και τώρα θα εκθέσουμε τις δικές μας σκέψεις γι’ αυτό το παράδοξο. Για μας, αυτό πού λέει ο Ζήνωνας είναι ακριβώς ότι είναι λογικά αδύνατο να βρούμε την τελική στιγμή της κίνησης σε ένα από τα υποδιαστήματα της απέ­ραντης προόδου πού σχηματίζουν. Αυτό σημαίνει ότι μιας και ο δρομέ­ας είναι παγιδευμένος στην διαδι­κασία του να φτάση το σημείο του προορισμού του [σημείο 1, δγρμ(1)] με το να κινείται κάθε φορά το μισό της απόστασης πού απομένει, δεν θα φτάση σ’ αυτό το σημείο 1. Γιατί, για να φτάση στο σημείο 1 του προορισμού του, πρέπει να «ύπερβή» την πρόοδο των ύποδια­στημάτων αλλά αυτό είναι κάτι πού δεν μπορεί να το κάνει, αφοϋ αυτή ή πρόοδος είναι απέραντη (ατελείωτη). Έτσι, αυστηρά λο­γικά μιλώντας, ο δρομέας δεν θα φτάση στο τέλος της κούρσας του, γιατί οσοδήποτε «κοντά» και να είναι αυτό το «τέλος», στην πρα­γματικότητα δεν είναι ποτέ «εκεί» [Te Hennepe (1963)]. 'Αφού δε, δεν μπορεί να πάη σ’ αυτό το «τέλος», χρειάζεται άπειρο χρόνο να πάη, υπό την έννοια ότι αν κανείς δεν πάει σ’ ένα μέρος Α, μπορεί να πή ότι θέλει άπειρο χρόνο να πάη στο Α, (πού είναι το ίδιο σαν να λέει ότι δεν πάει στο Α).

Νομίζουμε ότι τα παραπάνω υ­πονοούνται στον τρόπο πού ορί­ζουμε τα όρια σήμερα. Γιατί όταν λέμε ότι το lim l/n = 0, εννοούμε οτι το l/n μπορεί να πλησίαση στο μηδέν τόσο κοντά όσο είναι επιθυ­μητό με το να αυξάνουμε τον θετι­κό ακέραιο n . Αυτό σημαίνει οτι το μηδέν δεν ανήκει στο σύνολο S = {l/n, neN} (δηλ..: S = { l/l, 1/2, 1/3,...}). Πιο ποιητικά, το l/n έχει όλη την θέληση να γίνη μηδέν, αλλά τί κρίμα! παρά τίς προσπάθει­ες του παραμένει πάντα ένα απλό l/n.

Αυτές οι σκέψεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι είναι πιο παράδο­ξο να πούμε ότι κάποιος χρειάζεται έναν πεπερασμένο χρόνο για να πάη κάπου, οπού —στην πραγματι­κότητα— δεν πηγαίνει (πράγμα πού υπονοείται στην λύση του Grünbaum), παρά το να πούμε ότι κάποιος χρειάζεται άπειρο χρόνο για να πάη κάπου, οπού —στην πραγματικότητα— δεν μπορεί να πάη.

Επί πλέον, νομίζουμε ότι τα προ­ειδοποιητικά μαθήματα πού υπονο­ούνται από το παράδοξο της διχοτομίας είναι: (α): το άπειρο είναι ένα δόλιο είδος τέρατος. Συχνά «χτυπά» όταν δεν το περιμένουμε. Έτσι πρέπει να είμαστε προσεκτι­κοί στον τρόπο πού το χρησιμοποι­ούμε, (β): ή ερώτηση του Ζήνωνα, πού —κατά την άποψη μας είναι: «Πώς μπορούμε να υπερβούμε» το πεπερασμένο και να πάμε στο άπει­ρο;» δεν έχει βρή ακόμη μια ικανο­ποιητική απάντηση, και (γ): ποιο γενικά: όταν λέμε ότι αυτή ακρι­βώς ή ουσία ενός πράγματος μπο­ρεί να μετασχηματισθή στην ουσία ενός άλλου, βρισκόμαστε μπροστά στην ερώτηση: «Μα πώς μπορεί να γίνη αυτό;» Πώς είναι ή αλλαγή λογικά δυνατή; «Πώς μπορεί να αλλάξη ένα πράγμα χωρίς να χάνη την ταυτότητα του; "Αν μένει το ίδιο, δεν αλλάζει· αλλά αν χάνει την ταυτότητα του, τότε δεν είναι πια το ίδιο πράγμα πού έχει αλλά­ξει». [Poper, (1972)].

3. Ο Αχιλλέας και η Χελώνα

3.1 ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ αυτό λέει: «Αν ο Αχιλλέας αφήσει μια χελώ­να να ξεκινήσει από ένα σημείο που βρίσκεται πιο μπροστά απ’ αυτόν, τότε —αν και ξεκινούν την ίδια χρονική στιγμή— ο Αχιλλέας δεν φτάνει ποτέ την χελώνα. Και αυτό γιατί: πρέπει πρώτα να φτάση το μέρος απ' οπού ξεκίνησε ή χελώνα. Κατά τον χρόνο αυτό, όμως, η χελώνα θα έχει πάει σε ένα άλλο σημείο, πιο μπροστά. Ο Α­χιλλέας τότε θα πρέπη να πάη σ’ αυτό το σημείο, αλλά πάλι ή χελώ­να θα έχη πάη πιο μπροστά. Έτσι, ο Αχιλλέας θα πρέπει πάντα να πηγαίνει πρώτα στο σημείο από το όποιο ή χελώνα μόλις έφυγε, και κατ' αυτόν τον τρόπο, πάντα ή χελώνα θα προπορεύεται. Μ’ αυ­τόν τον τρόπο, οι προσπάθειες του Αχιλλέα θα σημαδεύονται πάντα από ταπεινωτικές αποτυχίες.

3.2. Εδώ, θα παρουσιάσουμε την άποψη του Β. Russell για το παράδοξο, [βλ.: Β. Russell: (1965), (1938)]. Το κύριο σημείο του επιχει­ρήματος του Russell είναι ή ένα προς ένα αντιστοίχηση των θέσε­ων του Αχιλλέα και της χελώνας στην ίδια στιγμή της κίνησης τους. Σέ κάθε στιγμή της κίνησης τους, ο Αχιλλέας είναι κάπου και ή χελώνα είναι επίσης κάπου· δεν είναι, δε, δυνατόν για κανένα τους να βρί­σκεται ποτέ δύο φορές στο ίδιο μέρος κατά την διάρκεια της κούρ­σας. Έτσι, ο αριθμός των σημείων οπού πηγαίνει ο Αχιλλέας, είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων οπού πηγαίνει ή χελώνα, διότι: ο καθένας είναι σ’ ένα μέρος την μια στιγμή, και σε άλλο μέρος σε μίαν άλλη). Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φτάση την χελώνα, τότε ο αρι­θμός των σημείων απ' οπού πέρα­σε ο Αχιλλέας θα ήταν μεγαλύτε­ρος από τον αριθμό των μερών απ’ οπού πέρασε ή χελώνα. Αυτό δε, πρέπει πράγματι να συμβαίνει αφού ο Αχιλλέας έχει να διανύση μεγαλύτερη απόσταση από την χε­λώνα. Έτσι —κατά τον Russell—, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτω­πους με το έξης παράδοξο: ό αρι­θμός των μερών από τα όποια έχει περάσει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των μερών απ' οπού έχει πέραση ή χελώνα, και —την ίδια στιγμή (στην περίπτωση που ο Αχιλλέας φτάνει την χελώνα) ο αριθμός των μερών πού πέρασε ο Αχιλλέας είναι μεγαλύτερος από αυτόν των μερών πού πέρασε ή Χελώνα. Αυτό όμως είναι μία αντί­φαση. Εν τούτοις, τα δύο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη, και όπως ο Cantor έχει δείξει, αυτό είναι ή χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, ότι δηλ. τα μέρη τους —αν όχι ίσα— είναι ισοδύναμα με το «όλον». Έτσι, η εκδοχή αυτού του παραδόξου μπορεί να θεωρηθή ότι έχει διαφωτισθή.

3.3 Θα παρουσιάσουμε τώρα μια δεύτερη εκδοχή του παραδόξου.

Ας υποθέσουμε ότι: (1) ο Αχιλ­λέας είναι στο σημείο ε· (2): ή χελώνα είναι στο σημείο Ε,· (3) ή απόσταση μεταξύ Ε και Ε, είναι S [βλ. δγρμ (1)].

Ε,   Ε,   Ε,

S     S,   S,...

Δγρμ. l

(4): ό Αχιλλέας φτάνει την χελώνα στο σημείο Ε'· (5): ό Αχιλλέας τρέχει με μια ταχύτητα ua και ή χελώνα με μια ταχύτητα Ux μικρό­τερη από την ua

Ιλ

(δηλ: U < U_A= — < 1) U_A

Ό Αχιλλέας χρειάζεται ένα χρό­νο Τ, για την διάνυση του πρώτου διαστήματος S, και κατ' αυτόν τον χρόνο Τ, ή χελώνα διανύει διάστη­μα S, (πηγαίνει δηλ.: από το Ε, στο Ε,). Ενώ ό Αχιλλέας πάει στο Ε,, ή χελώνα πάει στο Ε, (και Ε₂Ε, = S,), κ.ο.κ. Έτσι, ό Αχιλλέας, για να φτάση την χελώνα στο σημείο Ε', πρέπει να διανύση μιαν πρόοδο μη επικαλυπτομένων διαστημάτων: { S, S,, S,..., Sn..} δπου n = 1,2,3,..., τα όποια είναι φθίνοντος μεγέθους αφού τα μήκη τους S, S,, S,,... ava. S, S (ux/ua), S (U_X/U_A)², ... και ux/ua < 1 (βλέπε Grünbaum (1968)).

Είναι καθαρό οτι αυτό οδηγεί στα προβλήματα πού έχουν συζη-τηθή στη § 2.4 και § 2.5. του παρόντος (στο παράδοξο της διχο-τομίας). "Ετσι, δεν πρόκειται να επανέλθουμε εδώ.

Θα θέλαμε όμως να προσθέσου­με δτι ό Η. Weyl έχει αρχίσει μια συζήτηση του παραδόξου, πού α­ναφέρεται στο πρόβλημα των «ά-πειρομηχανών» (δηλ.: μηχανικών για τίς οποίες μπορεί να είπωθή δτι κάνουν άπειρο αριθμό έργων). Για τον Η. Weyl, αν δεχτούμε οτι ό Αχιλλέας μπορεί να διανύσει δλα τα ύποδιαστήματα μιας απέραντης ακολουθίας «τότε δεν υπάρχει λό­γος μια μηχανή να μην μπορεί να φέρει σε πέρας μιαν άπειρη ακο­λουθία διακριτών πράξεων από' φανσης μέσα σε ένα πεπερασμένο χρόνο...»

Στήν περίπτωση, όμως, αυτή, πρέπει να ποϋμε ότι ή λειτουργία μιας «άπειρομηχανής προϋποθέτει ότι το άπειρο πράγματι υπάρχει, και ότι δεν είναι μόνο μια ιδέα στα μυαλά των μαθηματικών, όμως φαί­νεται ότι καμμία παρατήρηση δεν μπορεί εϊτε να διάψευση ή να επα­λήθευση ότι το άπειρο πράγματι υπάρχει (ότι, δηλαδή, ή φύση είναι πράγματι άπειρη).

4. Το παράδοξο του βέλους

4.1 συμφωνα με τον Gr. Vlastos [βλ.   το  Gr.   Vlastos:   (1966)],  το παράδοξο του βέλους μπορεί να διατυπωθή ως ακολούθως: 1]. Ένα κινούμενο βέλος κινείται: εϊτε στον τόπο πού δεν βρίσκεται, ή στον τόπο πού βρίσκεται. 2].   Άλλα, δεν θα μπορούσε να κινηθή  ούτε στον τόπο πού δεν βρίσκεται,

3]. ούτε στον τόπο πού βρίσκεται, 3.1]. γιατί αυτός ό τόπος είναι ίσος με τον εαυτό του. 4]. Και κάθε τί, είναι πάντα σε ηρεμία, για κάθε στιγμή (μηδενικής διάρκειας), στην οποία καταλαμ­βάνει ένα τόπο ϊσο με αυτό το ϊδιο. 5] Συμπέρασμα: Άφοΰ ή 4 είναι αληθής για κάθε στιγμή, ακολουθεί ότι το βέλος δεν κινείται ποτέ.

4.2. "Εχει προταθή [βλ.: Grün­baum (1968), Russell (1932) και (1965)], ότι το παράδοξο αυτό βα­σίζεται στην υπόθεση δτι υπάρ­χουν διαδοχικές χρονικές στιγμές. Με βάση την υπόθεση αυτή, ή περίοδος κατά την διάρκεια της οποίας ένα βέλος κινείται, συνί­σταται από 'έναν αριθμό διαδοχι­κών χρονικών στιγμών. Σέ κάθε μία από τίς στιγμές αυτές, το βέλος εΐναι εκεί πού είναι, αν και την επόμενη στιγμή είναι κάπου άλ­λου. Πότε κινήθηκε; "Ας παραθέ­σουμε τον Β. Russell πού λέει: «... Δεν κινείται ποτέ, αλλά κατά ένα θαυματουργό τρόπο ή αλλαγή πρέ­πει να γίνη μεταξύ των χρονικών στιγμών, δηλαδή, «σε κανένα χρό­νο». "Ετσι, για τον Β. Russell, ό

πυρήνας του παραδόξου είναι ότι ή αλλαγή της θέσης πρέπει να συμ­βαίνει έξω από τον χρόνο. (δηλ. σε κανένα χρόνο»). Το συμπέρασμα αυτό στηρίζεται στην υπόθεση ότι ή χρονική τάξη είναι διακριτή. "Ετσι, σύμφωνα με τον Russell, ή λύση βρίσκεται στην θεωρία του συνε­χούς χρόνου. Έχουμε δει, (§2.1.) ότι αν ένα χρονικό διάστημα είναι ένα μαθηματικό γραμμικό συνεχές σημείων (στιγμών), τότε για κάθε στιγμή του συνεχούς δεν υπάρχει επόμενη στιγμή. Για τον Russell [στο (1922)] «...από την στιγμή πού αυτό αναγνωρίζεται ή δυσκολία "εξαφανίζεται».

Εν τούτοις, ή γνώμη μας είναι ότι και στην περίπτωση ενός πυκνού χρόνου, το παράδοξο δεν εξαφανί­ζεται· γίνεται, μάλλον, πιο καλυμέ-νο. Γιατί, αν μετά την στιγμή π.χ. ti, το βέλος κατέχει ένα τόπο στον οποίο δεν κινείται, και σε μία άλλη στιγμή t2 κατέχει ένα άλλο τόπο στον οποίο δεν κινείται, τότε για κάθε μία και για όλες τίς άπειρες (λόγω της πυκνότητας) ενδιάμεσες στιγμές (στο ti και Ì2), το βέλος καταλαμβάνει αντίστοιχους άπει­ρους τόπους, οπού —πάλι— είναι ακίνητο. Έτσι, για δλο το συνεχές χρονικό διάστημα στο όποιο ένα βέλος κινείται, είναι —στην πρα­γματικότητα— ακίνητο.

4.3. Νομίζουμε ότι μια πιο ικανο­ποιητική απάντηση σ' αυτό το παράδοξο, έχει δόσει ό Gr. Vlastos (1966). Κατά την άπρψή του, το λάθος του Ζήνωνα βρίσκεται στην τέταρτη προκείμενη του παραδό­ξου, ή οποία λέει ότι: «κάθε τι πάντα είναι σε κατάσταση ηρεμίας, για κάθε στιγμή (μηδενικής διάρ­κειας), στην οποία καταλαμβάνει ένα τόπο ϊσο με τον εαυτό του». Κατά τον Vlastos δεν έχει νόημα να λέμε δτι κάτι ηρεμεί σε μία χρονική στιγμή μηδενικής διάρκει­ας. "Οταν λέμε ότι ένα σώμα είναι σε κατάσταση ηρεμίας εννοούμε ότι ή ταχύτητα του U είναι μηδέν και δτι το σώμα αυτό δεν διανύει κανένα διάστημα S. "Αν πούμε ότι το σώμα αυτό ηρεμεί σε μία στιγμή t (μηδενικής διάρκειας), τότε θα έχουμε U = S/t = 0/0, το όποιον είναι απροσδιόριστο (ή όπως λέει ό

Vlastos λανθασμένα, χωρίς νόη­μα). Ένα σώμα ηρεμεί κατά την διάρκεια μιας χρονικής περιόδου, οσοδήποτε μικρής. Οί ιδέες της κίνησης και της ηρεμίας εφαρμό­ζονται σε δτι συμβαίνει όχι σε μία στιγμή, αλλά, σε ένα χρονικό διά­στημα, όπως ακριβώς ή καμπυλό­τητα είναι μια ιδιότητα γραμμών και επιφανειών, και δχι των σημεί­ων από τα όποια αποτελείται ή γραμμή (ή ή επιφάνεια). Ως εκ τούτου, για να ορίσουμε την κίνη­ση χρειαζόμαστε ένα χρονικό διά­στημα. Αυτό δε πού μπορεί να λεχθή, παραπέρα, για την κίνηση είναι: «ή κίνηση συνίσταται μόνο από το γεγονός ότι τα σώματα είναι μερικές φορές σε ένα μέρος και μερικές φορές σ' ένα άλλο». [Russell: ( 1965)].

Εν τούτοις, παρά τίς παραπάνω αναλύσεις, πιστεύουμε ότι ή ουσια­στική ερώτηση πού υπονοείται από το παράδοξο, δεν έχει άπαντηθή. Είναι χωρίς αξία, το να λέμε ότι δεν υπάρχει επόμενη στιγμή (βλ. λύση του Russell), ή, το να λέμε ότι δεν μπορούμε να μιλάμε για κίνηση σε μία χρονική στιγμή (βλ. λύση του Vlastos). Το λέμε δε αυτό, γιατί ενώ μπορούμε να ποΰμε δτι ένα σώμα βρίσκεται σε ένα μέρος σε μία στιγμή και σε ένα άλλο μέρος σε μία άλλη στιγμή, εν τούτοις, είναι αδύνατο για μας να πούμε πώς έγινε ή αλλαγή της θέσης. Πιο γενικά, δεν μπορούμε να πούμε τί σημαίνει «αλλαγή». Και αυτό είναι το ερώτημα πού υπονοείται από το παράδοξο αυτό του Ζήνωνα.

Έχει προταθή ['Από Russell και Braithwaite, βλ. στο Gale (1968)], δτι αυτό πού εννοούμε με την «αλλαγή» ενός πράγματος, πού συμβαίνει σε ένα χρονικό διάστη­μα, είναι μία ακολουθία διαδοχι­κών συμβάντων, πού όλα είναι καταστάσεις του 'ίδιου πράγματος.

'Αλλά αυτό μόνο ισχυροποιεί την άποψη του Παρμενίδη και του Ζή­νωνα, ότι, δηλαδή, μας είναι αδύ­νατο να συλλάβουμε την κίνηση· και την αλλαγή με την βοήθεια της λογικής μας, γιατί ή λογική μας αντιλαμβάνεται την κίνηση σε ο­ρούς ακινησίας.

5. Το παράδοξο του Σταδίου

5.1 Το ΠΑΡΑΔΟΞΟ αυτό θεωρείται ότι αναφέρεται εναντίον της υπό­θεσης ότι υπάρχουν ελάχιστες απο­στάσεις («όδόνια» ή «τοπόνια») και χρόνοι («χρονόνια»). "Ενα «όδό-νιο» είναι το ελάχιστο διάστημα του χώρου και ένα «χρονόνιο» είναι το ελάχιστο διάστημα του χρόνου. Τόσο τα «όδόνια», όσο και τα «χρονόνια» είναι αδιαίρετα.

Το παράδοξο διατυπώνεται ως έξης: "Ας φανταστούμε τρεις πα­ράλληλες σειρές σημείων, Α,Β και Γ. (Δγρμ 1).

Α Γ Β

Α Γ Β

Α

Γ Β

Î Μ Ξ

Οί αποστάσεις μεταξύ των καθέ­των γραμμών παριστάνουν χωρικά ελάχιστα (δηλ.: «όδόνια»). Ή σει­ρά Γ είναι ακίνητη, ενώ οί δύο άλλες σειρές κινούνται με αντίθε­τες ταχύτητες. Ή σειρά Α περνά το Γ κινούμενη με την ταχύτητα του ενός «όδονίου» ανά «χρονό­νιο», και ή σειρά Β κινείται με αντίθετη ταχύτητα από αυτήν της σειράς Α. Κατά την πρώτη στιγμή πού θεωρούμε τίς τρεις σειρές, το Α, είναι ευθυγραμμισμένο και τα Γ, και Β, [Δγρμ. 1)]. Την επόμενη στιγμή ακριβώς, το Β, είναι ευθυ­γραμμισμένο με το Α, και το Γ₂ . [Δγρμ (3)]. Τώρα, σύμφωνα με τον Ζήνωνα, καθώς οί σειρές Α και Β κινούνται προς αντίθετες κατευ­θύνσεις, πρέπει να ύπάρχη μία χρονικά ενδιάμεση στιγμή στην οποία το Β, είναι ευθυγραμμισμένο με το Α-, [Δγρμ. (2)]. "Αν δε το Α, και το Β, έχουν συναντηθή, τότε αυτό πρέπει να συνέβη σ' ένα χρόνο ϊσο με το μισό του χρονόνι-ου. Από αυτό, ό Ζήνωνας συμπε­ραίνει δτι: «το μισό ενός δεδομένου

χρόνου ισούται με το διπλό αυτού του χρόνου», πράγμα πού είναι παράλογο. "Αρα δεν μπορούμε να μιλάμε για κβαντισμένο χρόνο και χώρο.

5.2 Ό A'rpâd Szabó (1966) μας έχει δόση μία Ιστορική ερμηνεία γΓ αυτό το παράδοξο. Κατά τον Sza­bó, ό Ζήνωνας είχε υποστήριξη ότι το «μισό ενός δεδομένου χρόνου ισούται με το διπλάσιο του», γιατί —γΓ αυτόν— τόσο ό «μισός χρό­νος», οσο και ό «ολόκληρος χρό­νος» ήσαν άπειροσύνολα. Όπως δε, έχουμε δει, στην §3.2., δύο άπειροσύνολα, αν όχι εντελώς «ϊσα», είναι —εν τούτοις— ισοδύναμα στην μοντέρνα συνολοθεωρία. Έ­τσι, για τον Szabó, αυτός ήταν ό λόγος γιατί ό Ευκλείδης περιέλαβε το αξίωμα «το δλο είναι μεγαλύτε­ρο από το μέρος» στα «Στοιχεϊα» του. Γιατί ήθελε να περιοριστή σε πεπερασμένα σύνολα. Κατά την άποψη μας, το αξίωμα ότι «το όλον είναι μεγαλύτερο του μέρους», σχε­τίζεται και με το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας. 'Επί πλέον δε, είναι αυτό το αξίωμα πού βρίσκεται στίς ρίζες του παραδό­ξου (βλ. § 3.2.).

5.3. Εδώ, θα παρουσιάσουμε μία λύση του παραδόξου πού έχει δοθή από τους G.I Whitrow (1961), Β. Russell (1938) και M.Evellin [βλ. Rüssel: (1938)].

Σύμφωνα μ' αυτούς, σ' goto το παράδοξο, ό Ζήνων είναι ένοχος ενός λογικού σφάλματος, γιατί ένψ αξιώνει την ασυνέχεια, (ενψ δηλ.:, έχει υποθέσει ότι τα «όδόνια» και τα «χρονόνια» είναι αδιαίρετα), λέ­ει ότι τα Β, και Α, συναντώναι, πράγμα πού υπονοεί ότι σιωπηλά επικαλείται ένα αξίωμα συνέχειας. "Ετσι, σύμφωνα με τον Μ. Evellin, τα Α, και Ε, δεν συναντώνται καθόλου. Το μόνο πού συμβαίνει είναι ότι, την μία στιγμή, το Α, είναι ευθυγραμμισμένο με το Β, και την επόμενη ακριβώς στιγμή, το Β, είναι ευθυγραμμισμένο με το Α,: και τίποτε δεν έχει συμβή μεταξύ των στιγμών.

Κατά την άποψη μας, στην περί­πτωση του διαγράμματος (2), (ο­πού το Α, και το Β, συναντώνται μεταξύ των καθέτων γραμμών), ό

M. Evellin δικαιώνεται. 'Αλλά, απ' την άλλη, ή λύση του Evellin υπο­νοεί ότι μετά από ένα «χρονόνιο», το Β, εμφανίζεται στο «τέλος» ενός διαστήματος του χώρου πού είναι πολλαπλάσιο ενός «όδονίου». Αυ­τή δε, ή παραδοχή, οδηγεί· σε 'ένα πρόβλημα πού άφορα την διαπερα­τότητα των υλικών σωμάτων. Για­τί, αν δεχτούμε ότι το χωρικό διά­στημα πού διανύθηκε σ' ένα «χρο­νόνιο» είναι ένα πεπερασμένο πολ­λαπλάσιο ενός «όδονίου», τότε ο­ποιοδήποτε εμπόδιο και αν τοποθε-τηθή μέσα σ' αυτό το διάστημα δε θα πρέπει να έμποδίζη την διέλευ­ση του κινουμένου σώματος. 'Απ' όσα ομως γνωρίζουμε, το τελευ­ταίο άφορα μία επίσημη ιδιότητα των φαντασμάτων!

5.4. Για να κάνουμε πιο σαφές το τί εννοούμε εδώ, θα έπαναδιατυ-πώσουμε το παράδοξο με τον ακό­λουθο τρόπο. (Δργμ. 4 και 5).

Α Β

Γ

Δγρμ. (4): στιγμή t

Δγρμ. (5): στιγμή ί

Στά διαγράμματα (4) και (5), οί αποστάσεις μεταξύ των καθέτων γραμμών αντιπροσωπεύουν «όδό­νια». Εδώ, το Β δεν κινείται, και τα Α και Γ κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις και με την ϊδια ταχύ­τητα του ενός «όδονίου» ανά «χρο­νόνιο». Κατά την στιγμή t [Δγρμ. (1)], το Α είναι ευθυγραμμισμένο με τα Β και Γ. Μετά από ένα «χρονόνιο», το Α, το Β και το Γ, κατέχουν τίς θέσεις πού σημειώ­νονται στο διάγραμμα (5), οπού: (1): ή απόσταση του Α από το Β είναι ένα «όδόνιο», (2): ή απόσταση του Β από το Γ είναι ένα «όδόνιο», και (3): ή απόσταση του Γ από το Α είναι δύο «όδόνια».

Το ϊδιο ομως αποτέλεσμα μπο­ρούμε να έχουμε και στην περίπτω­ση οπού: (1): Το Α δεν κινείται, (2) το Β κινείται σε σχέση με το Α με ταχύτητα ενός «όδονίου» ανά «χρο-νόνιο» και προς την ϊδια κατεύθυν­ση πού κινείται το Γ, και (3): Το Γ κινείται σε σχέση με το Β, με την ταχύτητα τοο ενός «όδουίου» ανά «χρονόνιο», και προς την ϊδια κα­τεύθυνση με το Β. Έτσι, αν τα Α,Β και Γ είναι ευθυγραμμισμένα κατά την στιγμή t, θα καταλαμβάνουν τίς θέσεις του σχήματος (5) μετά από 'ένα «χρονόνιο». "Αν, δε, έχου­με περισσότερα σώματα, έστω τα Α, Β, Γ και Δ, τα όποια κατά την στιγμή t είναι ευθυγραμμισμένα [Δγρμ. (6)], τότε --με βάση την υπόθεση της σχετικής κίνησης πού χρησιμοποιήσαμε παραπάνω— την επόμενη ακριβώς στιγμή τα Α, Β,Γ και Δ, θα καταλαμβάνουν τίς θέ­σεις πού δείχνει το διάγραμμα (7), οπού ή απόσταση του Δ από το Α είναι τρία «όδόνια». Α

Β Γ

Δ Δγρμ. (6)

Δ

Δγρμ. (7)

Κατά τον τρόπο αυτό, το Δ (σε σχέση με το Α) διανύει τρία «όδό­νια» ανά «χρονόνιο». Έτσι ένα σώμα μπορεί να διανύση ένα πεπε­ρασμένο πολλαπλάσιο «όδονίων» ανά «χρονόνιο». Αυτό δε, το πεπε­ρασμένο πολλαπλάσιο των «όδονί­ων» μπορεί να είναι ένα αισθητό διάστημα, πράγμα πού μας έπιτρέ¹ πει να τοποθετήσουμε το προανα-

φερθέν εμπόδιο μέσα σ'   αυτό το διάστημα.

5.5 Στό τμήμα αυτό, θα συζητή­σουμε την άποψη του Α. Grün­baum για το παράδοξο του σταδί­ου. Ό Α. Grünbaum (1968), πιστεύει οτι υπάρχει ένα προειδοποιητικό μάθημα για μας, στο παράδοξο αυτό του Ζήνωνα. Το μάθημα αυτό είναι ή εξάρτηση του κύρους των γεγονότων (event - status) από την σχετική κίνηση. Κατά τον Grün­baum, το κατά πόσο οί ευθυγραμ­μίσεις των Α,—Β, και Α,—Β, [βλ. δγρμ.: (1), (2), (3)], μπορούν να χαρακτηρίζονται σαν γεγονός ή όχι, εξαρτάται από το μέγεθος της σχετικής ταχύτητας των δύο σει­ρών. "Ετσι, αν ή ταχύτητα είναι δύο «άλματα» (δηλ. δύο «όδόνια» ανά «χρονόνιο»), τότε ή ευθυγράμ­μιση δεν χαρακτηρίζεται σαν γεγο­νός. Από την άλλη, αν ή ταχύτητα αυτή είναι ένα «άλμα», τότε ή ευθυγράμμιση χαρακτηρίζεται σαν γεγονός. Κατά τον τρόπο αυτό, ή ευθυγράμμιση του Β, με το Α, δεν είναι γεγονός (αφού ή σχετική τα­χύτητα του.Β, σε σχέση με το Α, είναι δύο «άλματα»): από την άλλη μεριά, ή ευθυγράμμιση του Α, με το Γ, είναι ένα γεγονός (αφού, εν σχέσει με το Γ,, ή ταχύτητα του Α, είναι «ένα άλμα») [βλ. Δγρμ (3)].

Κατά την άποψη μας, όταν λέμε —μαζί με τον M. Evellin— οτι το Α₂ και το Β, δεν συναντώνται καθό­λου, είναι το ϊδιο με το να λέμε —μαζί με τον Α. Grünbaum— οτι ή κάθετη ευθυγράμμιση των Α₂ και Β, δεν είναι γεγονός. Έτσι, ή ερμηνεία του Grünbaum, οδηγεί στο πρόβλημα της διαπερατότητας των υλικών σωμάτων, πού συζητή­σαμε στίς §5.3 και §5.4. του παρόν­τος.

6. Συμπέρασμα

Σ' ΑΥΤΟ το δοκίμιο προσπαθήσα­με να δείξουμε οτι τα παράδοξα του Ζήνωνα δεν έχουν βρει ακόμα μία ικανοποιητική λύση. Αυτός ό οξύς και γνήσιος στοχαστής παίζει ακόμη τον ρόλο του φιλοσοφικού κριτή τόσο για τους σύγχρονους μαθηματικούς, όσο και για τους σύγχρονους φυσικούς.

Μας έδωσε μία κριτική της άπειρης γεωμετρικής προόδου, προτείνοντας τα γνωστά παράδοξα της διχοτομίας και του Αχιλλέα, και συνεχίζει κρί­νοντας την έννοια του ορίου. Το κύ­ριο σημείο δε, της ερευνάς του είναι όχι το πότε, αλλά το πώς φτάνει ό Αχιλλέας τη χελώνα το πώς μπορεί να γίνη ή υπέρβαση του πεπερασμέ­νου προς το άπειρο.

Στό παράδοξο του βέλους μας έ­δειξε οτι ή λογική μας δεν μπορεί να μας βοηθήση στην προσπάθεια πού κάνουμε να κατανοήσουμε λογικά την κίνηση και την αλλαγή. Μέσω της λογικής μας συλλαμβάνουμε την κίνηση σαν να εΐναι μία σύνθεση από ακινησίες. Έτσι, το παράδοξο αυτό είναι μία πρόκληση γι' αυτήν ακόμη τη λογική μας.

Όσον άφορα το παράδοξο του Σταδίου, νομίζουμε οτι οί λύσεις πού προσφέρθηκαν, οδήγησαν —στην πραγματικότητα αυτό το παράδοξο στην τελειότητα. Γιατί, τώρα φαίνεται πιο παράδοξο αφού συνεπάγεται την διαπερατότητα των υλικών σωμάτων.

Πιστεύουμε λοιπόν, δτι ό Ζήνω­νας είναι ακόμη ζωντανός και μας κεντρίζει με τα παράδοξα του. Υ­πάρχει δε ακόμη πολύ μελέτη πού πρέπει να γίνη, για να βρεθή κάπο­τε μία ικανοποιητική λύση σ' αυτά τα παράδοξα.

Η. Eves, (1953): "An introduction to the history of mathematics", (3rd edition, Holt, Rinehart and Winston).

R. M. Gale, (1968): "The language of Time", London, Routledge and Kegan Paul.

A. Grunbaum (1968): "Modern Science und Zeno's paradoxes", (George Allen and Unwin, London).

H.A. Fraenkel: "Abstract set theory", (3rd revised edition, North - Holland publi­shing Co., Amsterdam).

A. Nehamas (1981): "On Parmenides three ways of inquiry", περιοδικό: «Δευκα­λίων», τ. 35/34, Αθήνα.

K.R. Popper (1972): "Conjectures and Re futations", (Routledge and Kegan Paul).

B. Russell (1965) "Mysticism and Logic", (Unwin Books, London).

B. Russell (1938): "The principles of Mathe­matics", (2rd edition, N.Y.: W.W. Norton and Company).

B. Russell (1922): "Our Knowledge of the external World", (Allen and Unwin, Ltd, London).

Σ. Σαραντόπουλος (1956): «Διαφορικός Λο­γισμός», Αθήνα.

A. Szabó (1966): "The Origins of Euclidean Axiomatics", (Lectures given at the University of London).

E. Te Hennepe (1963): "Language Reform and Philosophical Imperialism: Another Round with Zeno", Analysis, T. 23.

O. Testudo (1981): "Space for Zeno", Δευ­καλίων, τ. 33/34.

Θ. Βέικος (1974): «Τα παράδοξα του Ζή­νωνα και οί Καντιανές αντινομίες», Δευκαλίων, τ. Π.

Gr. Vlastos (1966) "A note on Zeno's Arrou/', Phronesis, t. 11).

H. Weyl (1963): "Philosophy of Mathematics and natural Science", (N.Y.: Atheneum).

G.J. Whitrow (1961): "The natural Philo­sophy of time". (London: Thomas Nelson and Sons, Ltd).