www.ekivolos.gr   

   http://ekivolosblog.wordpress.com

 

    ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ: ekivolos@gmail.com

                                  ekivolos_@hotmail.com

                                  ekivolos@ekivolos.gr

 

 

   

  Η ταυτότητά μας    ΑΡΧΙΚΗ ΣΕΛΙΔΑ 

Όποιος σκέπτεται σήμερα, σκέπτεται ελληνικά,

έστω κι αν δεν το υποπτεύεται.

                                                                                                                 Jacqueline de Romilly

Κάθε λαός είναι υπερήφανος για την πνευματική του κτήση. Αλλά η ελληνική φυλή στέκεται ψηλότερα από κάθε άλλη, διότι έχει τούτο το προσόν, να είναι η μητέρα παντός πολιτισμού. 

                                                                                                                                                                     U.Wilamowitz

     

ΕΣΤΙΑΖΟΥΜΕ ΣΤΟΝ ΑΡΧΑΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ

Τό ἑλληνικό μέτρον εἶναι τό πένθος τοῦ Λόγου

Παναγιώτης Στάμος

Κλασσικά κείμενα-αναλύσεις

Εργαλεία

Φιλολόγων

Συνδέσεις

Εμείς και οι Αρχαίοι

Η Αθηναϊκή δημοκρατία

Αρχαία

Σπάρτη

ΣΧΕΤΙΚΗ

ΑΡΘΡΟΓΡΑΦΙΑ

Θουκυδίδης

Το Αθηναϊκό πολίτευμα 

 

ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ 

Jean Brun

 

        Οι Πυθαγόρειοι δεν ήταν απλώς μια επιστημονική και φιλοσοφική σχολή αλλά και μια θρησκευτικοπολιτική αίρεση, περιβαλλόμενη με αρκετό μυστήριο. Τα κείμενα που διαθέτουμε σχετικά είναι συνήθως ελλιπή, γι' αυτό και δύσκολα διακρίνει κανείς τι ανήκει στο μύθο και τι στην ιστορία.

 

 

    

 

    Ι. Η ζωή του Πυθαγόρα1     

 

         Γεννήθηκε στη Σάμο το 580 περίπου π.Χ. Λέγεται ότι πήγε στη Μίλητο να ακούσει τον Αναξίμανδρο καθώς κι ότι ο Θαλής τον θεωρούσε ιδιοφυΐα και ανώτερο του. Ορισμένες, μεταγενέστερες ως επί το πλείστον, παραδόσεις τον φέρουν να ταξιδεύει στην Αίγυπτο, τη Βαβυλώνα (όπου και συναντά τον Ζωροάστρη), τις Ινδίες κ.λπ. Ο Τσέλλερ θεωρεί όλ' αυτά τα ταξίδια μυθικά ενώ ο Σαινιέ πιστεύει πως το ταξίδι στην Αίγυπτο πρέπει να θεωρείται βέβαιο. Όπως και να 'χει όμως το πράγμα, το σίγουρο είναι πως ο Πυθαγόρας εγκατέλειψε τη Σάμο για ν' αποβιβαστεί στη Σύβαρη κι από κει να μεταβεί πεζός στον Κρότωνα. Εκεί διδάσκει και συγκεντρώνει γύρω του πλήθος μαθητών. Ιδρύει μια κοινότητα από άνδρες, γυναίκες και παιδιά, όπου κυριαρχεί η κοινοκτημοσύνη, διδάσκεται η ομόνοια κι επιβάλλεται η μυστικότητα. Έτσι ο Πυθαγόρας αποκτά σιγά σιγά μεγάλη επιρροή στα πράγματα της πόλης και το πρόσωπο του περιβάλλεται με πλειάδα μύθων. Λεγόταν πως ήταν γιος του Απόλλωνα, πως ήταν θαυματουργός, ότι θυμόταν τις παρελθούσες ζωές του, ακόμα κι ότι μπορούσε να μετακινηθεί αστραπιαία μέσα στο χώρο. Πολύ σύντομα όμως θα προκαλέσει το μίσος του λαού, που θα τον κατηγορήσει για τον αριστοκρατισμό και τον μυστικισμό του. Ξεσπά λαϊκή εξέγερση και οι Πυθαγόρειοι σφαγιάζονται.

        Σύμφωνα με μια παράδοση ο Πυθαγόρας παραδόθηκε στην πυρά ενώ σύμφωνα με μια άλλη κατέφυγε στο Μεταπόντιο, όπου και πέθανε. Με την αποκατάσταση της ειρήνης στον Κρότωνα, επιτράπηκε τελικά στους Πυθαγόρειους να επιστρέψουν, υπό τον όρο, όμως, ότι θα άλλαζαν το καταστατικό της κοινότητας τους. Τον τέταρτο π.Χ. αιώνα ο Αριστόξενος ο Ταράντιος θα πρέπει να συνάντησε τους τελευταίους εκπροσώπους της σχολής. Πιστεύεται, τέλος, πως ο Φιλόλαος θα πρέπει να ήταν εκείνος που πρόδωσε τα μυστικά της ομάδας και πούλησε στον Διονύσιο των Συρακουσών ή, κατ' άλλους, στον Δίωνα τρία βιβλία που περιείχαν το εσωτεριστικό δόγμα των Πυθαγορείων. Αυτά τα βιβλία θα πρέπει να διάβασε ή και να αγόρασε ο Πλάτων κατά το πρώτο του ταξίδι στη Σικελία, για να τα χρησιμοποιήσει τελικά στον Τίμαιο του.

 

  

        II. Το Τάγμα των Πυθαγορείων

 

         Στον Κρότωνα, η έκφραση οι Πυθαγόρειοι δεν υποδήλωνε απλώς μια σχολή αλλά και μια πολιτική μερίδα αντίπαλη αυτής των Κυλωνείων εκεί οφείλονται άλλωστε τα μίση κι οι έριδες. Οι θεωρίες των Πυθαγορείων αποτελούσαν πράγματι μια σοφία που εκτεινόταν σε όλα τα δυνατά πεδία, τόσο σ' αυτό της γνώσης, της θρησκείας όσο και σ' αυτό της αισθητικής ή της πολιτικής. Η στρατολόγηση των μυστών γινόταν με προσοχή, ανάλογα με τη φυσιογνωμία, το παράστημα, τις συνήθειες και τις κλίσεις των υποψηφίων. Το αρχικό στάδιο της μύησης διαρκούσε δύο με πέντε χρόνια και περιλάμβανε μια σειρά δοκιμασιών (διαπεΐρα). Ο μαθητευόμενος υποβαλλόταν στη δοκιμασία της σιωπής (έχεμυθία), περιοριζόταν δηλαδή αποκλειστικά στο να ακούει τις διδασκαλίες δίχως να ζητά οιαδήποτε εξήγηση γι' αυτό και οι δόκιμοι ονομάζονταν ακουσματικοί. Κατά το αρχικό αυτό στάδιο της μύησης οι μαθητές δεν αντίκριζαν το δάσκαλο τους, που ήταν κρυμμένος πίσω από μια κουρτίνα, γι' αυτό και οι μαθητές ονομάζονταν οί έξω. Στη συνέχεια, οι νεόφυτοι ανέρχονταν στις τάξεις των μαθηματικών και, απαλλαγμένοι πια από τον όρκο σιωπής, όφειλαν να διδάξουν. Τελικό στάδιο ήταν η τάξη των φυσικών, των μελετητών δηλαδή των φυσικών φαινομένων. Στις τάξεις των Πυθαγορείων γίνονταν δεκτές και γυναίκες. Όλα τα μέλη πάντως όφειλαν απόλυτη υπακοή και το Αυτός έφα επείχε θέση ύπατου αξιώματος. Η αίρεση εμφάνιζε όλα τα χαρακτηριστικά ενός μοναστικού τάγματος: περίπατος και προσευχή τα πρωινά, συχνές νηστείες, αποχή από κάθε ζωική τροφή, απαγόρευση οιασδήποτε θρησκευτικής θυσίας για κάποιον ανεξήγητο ακόμα λόγο απαγορευόταν επίσης και το να τρώνε κουκιά. Ορισμένοι μάλιστα ισχυρίζονται ότι το τάγμα είχε υιοθετήσει ακόμα και στολή, που την αποτελούσε ένας απλός χιτώνας από μαλλί ή λευκό λινό.

        Καταλήγοντας, ας υπογραμμίσουμε πως τίθενται διάφορα σημαντικά, πλην όμως δυσεπίλυτα προβλήματα: οι Πυθαγόρειοι υιοθέτησαν τις αρχές και τα μυστήρια των Ορφικών ή μήπως οι Ορφικοί και τα μυστήρια τους γεννήθηκαν μέσα από την κοινότητα των Πυθαγορείων; Ο Ζοζέφ ισχυρίζεται πως η ιουδαϊκή αίρεση των Εσσαίων ακολουθούσε ορισμένο τρόπο ζωής που θα πρέπει να είχε εμπνευσθεί από τους Πυθαγορείους. Ο Κρόϋτσερ πάλι πιστεύει πως, αντί επιδράσεων, υπάρχουν μόνον απλές αναλογίες, απόλυτα εξηγήσιμες αν αναχθούμε στις περσικές πηγές, απ" όπου τόσο οι Πυθαγόρειοι όσο και οι Εσσαίοι θα πρέπει να αντλήσουν τα δόγματα τους.

 

 

        ΙΙΙ. O αριθμός 

 

        Η φήμη των Πυθαγορείων οφείλεται συνήθως στο ότι υιοθέτησαν ως έμβλημα τους το τα πάντα είναι αριθμός. Ορισμένοι ιστορικοί της φιλοσοφίας και των επιστημών επιχείρησαν να διαγνώσουν μέσα σ αυτό τις απαρχές μιας σύγχρονης επιστημονικής θέασης του κόσμου, όπου το γιγνώσκειν ισοδυναμεί με το μετράν και όπου μια γνώση δεν είναι επιστημονική παρά μόνον εάν είναι μαθηματική. Έτσι λοιπόν ο Α. Μπρούνσβικ, στο έργο του Ο ρόλος του πυθαγορισμού στην εξέλιξη των ιδεών (Παρίσι, 1937), συγχαίρει τον Πυθαγόρα για την ιδιοφυή του ενόραση αλλά και θλίβεται, καθώς συναντά διαρκώς, στις θεωρίες του τελευταίου, πολυάριθμες προλήψεις για τους αριθμούς, ώστε τελικά δίπλα στην πραγματική αριθμητική να παρατίθεται μια αρεσκόμενη σε νεφελώδεις και μυθολογικές θεωρήσεις αριθμολογία.

Ίσως, όμως, παρουσιάζοντας τον Πυθαγόρα ως τον διστακτικό ακόμα προπάτορα αυτής της χαρακτηριστικής των μοντέρνων καιρών κυριαρχίας του ποσοτικού, να πέφτουμε θύματα μιας παρανόησης. Η θεωρία των Πυθαγορείων εδράζεται, στην πραγματικότητα, σε μια κοσμοαντίληψη εντός της οποίας ο αριθμός συλλαμβάνεται μ' έναν τρόπο τελείως διάφορο αυτού που μας είναι οικείος. Στις μέρες μας, αντιλαμβανόμαστε πλέον τον αριθμό ως επισώρευση μονάδων, ώστε το 3 για μας να προκύπτει από την πρόσθεση του 1 στο 1 και πάλι στο 1 ο αριθμός, άρα, γεννάται μέσω της επανάληψης της στοιχειώδους ενότητας. Από αυτή τη σύλληψη έλκουν την καταγωγή τους οι φιλοσοφίες της απαγωγής και της ανάπτυξης, φιλοσοφίες που με τη σειρά τους απολήγουν σε τεχνικές δύναμης και κυριαρχίας.

Για τους Πυθαγόρειους, αντίθετα, ο αριθμός προκύπτει από τη διαίρεση της Ενότητας. Το εν, διχαζόμενο, διπλασιάζεται: το ένα παρήγαγε το δύο, όπως λέει κι ο Αριστοτέλης (Μετά τα Φυσικά, XIV, 3). Κυριολεκτώντας, λοιπόν, η ενότητα δεν έχει πληθυντικό ή, μάλλον, οφείλουμε να διακρίνουμε το Εν, τον αριθμό των αριθμών, από τη μονάδα, τον αριθμό δηλαδή των αριθμούμενων πραγμάτων. Αυτή η κοσμοαντίληψη συνεπάγεται μια φιλοσοφία της εγκόλπωσης, όπου ο αριθμός είναι τμήμα της ενότητας κι όχι η ενότητα τμήμα του αριθμού.       

Παριστούσαν τους αριθμούς με αριθμούς-στίγματα 

 

                                                                          ∙    

3 =           ∙                                      6=             ∙    ∙

              ∙    ∙                                                  ∙    ∙      ∙    

 

        Οι γραφικές αυτές απεικονίσεις τους επέτρεπαν να δείχνουν, με μια και μόνη ματιά, πως το άθροισμα των περιττών ισούται με τα τετράγωνα της ακολουθίας των αριθμών2, γιατί:

 1 + 3 = 22                1 + 3 + 5 = 32                 1 + 3 + 5 + 7 = 42

 Χάρη στις γραφικές αυτές απεικονίσεις τους ήταν δυνατόν να δείξουν ότι

  (α + β) =  α2  + 2αβ + β2                                 

 είτε πάλι το περίφημο πυθαγόρειο θεώρημα:

 AB2 + BC2 = AC2                   

          Ο πυθαγόρειος αριθμός, ακριβώς επειδή πριν απ όλα είναι σχήμα, διαθέτει μια ατομικότητα, ή και προσωπικότητα θα 'λέγε κανείς, που εκφράζει τις σχέσεις του μέρους και του όλου στο εσωτερικό μιας αρμονίας. Ύπατη λοιπόν αρχή είναι το Εν, που κλείνει μέσα του όλους τους αριθμούς και υψώνεται υπεράνω όλων των αντιθέτων: είναι ο αριθμός των αριθμών. Οι καθεαυτό αριθμοί συνιστούν το ίδιο το είναι (την ούσίαν καί το δν), το είναι σε όλες του τις δυνατές κατηγορίες. Αποτελούν τόσο το υλικό (ως ύλην) όσο και το τυπικό στοιχείο (ως πάθη τε καί έξεις), καθώς και τις αιτίες (αίτιους) είναι οι αρχές που ανευρίσκονται σε όλα τα όντα της φύσης, όντα υλικά και προικισμένα με κίνηση. Οι αριθμοί αποτελούν ταυτόχρονα την ουσία, την ύλη και την αρχή της κίνησης αυτών των όντων. Οι αρχές αυτές βρίσκονται μέσα (ενυπάρχει) στα πράγματα και, εφόσον είναι ταυτόχρονα ύλη και μορφή, είναι αδιάσπαστα συνδεδεμένες μ' αυτά. Αν και αδιαχώριστοι, οι αριθμοί φαίνονται ωστόσο διακριτοί από τα πράγματα, κι αυτό γιατί προηγούνται κάθε φυσικού όντος: είναι λοιπόν ταυτόχρονα υπερβατικοί και εμμένεις (Αριστοτέλους, Μετά τα Φυσικά, Ι, 5). Κατά συνέπεια, οι αριθμοί είναι πράγματα επειδή ακριβώς τα πράγματα είναι αριθμοί: είναι άρα αδιάφορο αν λέγεται ότι εξετάζονται οι μεν ή τα δε. Αν θέλουμε πραγματικά να συλλάβουμε το νόημα και την εμβέλεια του περίφημου ορισμού που μας κληροδότησε ο Θέων της Σμύρνης: Σύμφωνα με το δόγμα των Πυθαγορείων, οι αριθμοί είναι, θα λέγαμε, ή αρχή, ή πηγή και ή ρίζα των πάντων3, δεν θα πρέπει να ξεχνάμε πως ο αριθμός, στο βαθμό που εκφράζει τη σχέση του μέρους με το Εν-όλον, μαρτυρεί την παρουσία ενός διαστήματος τελείως διάφορου του απλού χωρομετρικού. Πρόκειται, αντίθετα, για ένα αληθινό οντολογικό διάστημα, που ρόλος του είναι η καθοδήγηση του στοχασμού προς την έννοια της αρμονίας. Σχέση ατόμου και Είναι, πολλαπλού και Ενός-όλου, ο πυθαγόρειος αριθμός δεν είναι διόλου μια απλή ποσότητα: είναι ένα αρμονικό διάστημα. Αυτή ακριβώς η έννοια του αρμονικού διαστήματος αποτελεί και τον ακρογωνιαίο λίθο κάθε επιστήμης και κυρίως αυτής του κόσμου.

 

 

IV. Η μουσική

 

         Οι Πυθαγόρειοι επέδειξαν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη μουσική ως προς το θέμα μάλιστα αυτό οφείλουμε να αναφέρουμε, πέραν του ίδιου του Πυθαγόρα, τον Ιππάσιο τον Μεταποντίνο, τον Αριστόξενο τον Ταράντιο και τον Νικόμαχο τον Γεράσιο. Συμφιλιώνοντας τις αντίρροπες αρχές που υπεισέρχονται στη συγκρότηση κάθε όντος, η αρχή της αρμονίας αποτελεί την αναλογία που, σε κάθε πεδίο, συνενώνει τα διχονοούντα στοιχεία. Απαντάται φυσικά στη μουσική, όπου οι έννοιες της συμφωνίας και της διαφωνίας διαδραματίζουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο. Η μουσική, άλλωστε, υποκρύπτει μέσα της σε λανθάνουσα κατάσταση ολόκληρη αριθμητική, την οποία οι Πυθαγόρειοι, επιχείρησαν να αναδείξουν, τονίζοντας τον ουσιώδη ρόλο του αριθμού και της αναλογίας. Όπως λέει κι ο Θέων της Σμύρνης:

        Εφόσον λέγεται πως υπάρχουν σύμφωνοι αριθμοί, το λόγο αυτής της συμφωνίας δεν θα μπορούσαμε να τον βρούμε παρά μόνον μέσα στην αριθμητική η συμφωνία αυτή διαθέτει τις μεγαλύτερες αρετές, αφού είναι η αλήθεια μέσα στην έλλογη ψυχή, η μακαριότητα μέσα στο βίο και η αρμονία μέσα στη φύση τέλος, είναι αυτή η ίδια η αρμονία που απλώνεται σ' ολόκληρο το σύμπαν και δεν παρουσιάζεται σ' όσους την αναζητούν παρά αποκαλυπτόμενη μέσα από τους αριθμούς 4.

        Άμεσα αισθητή αρμονία είναι αυτή που μας αποκαλύπτουν τα μουσικά όργανα ενώ νοερή αυτή που μας χαρίζουν οι αριθμοί. Γι' αυτό και οι Πυθαγόρειοι προέβησαν σε εκτεταμένες έρευνες όσον αφορά τις σχέσεις μήκους και πάχους των χορδών, καθώς και μεταξύ της, ρυθμιζόμενης από περιστρεφόμενα κλειδιά, τάσης των χορδών και τόνου που παράγουν με τη νύξη τους. Τόσο ο μαθηματικός προσδιορισμός των διαστημάτων όσο και η επινόηση του επτάχορδου και του οκτάχορδου αποδίδονταν στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Οι Πυθαγόρειοι είχαν ακόμα αφιερώσει μελέτες τους στη σχέση ήχου και όγκου του δονούμενου δοχείου που τον παράγει:

        Αυτές τις συνηχήσεις άλλοι θέλησαν να τις επιτύχουν με το βάρος, άλλοι με το μήκος, άλλοι με αριθμημένες κινήσεις κι άλλοι με τη χωρητικότητα των δοχείων. Λέγεται πως ο Λάσος ο Ερμιονεύς κι οι μαθητές του Ιππάσιου του Μεταποντίνου, του τελευταίου εναπομείναντος από το Τάγμα του Πυθαγόρα, έκαναν παρατηρήσεις σχετικά με την ταχύτητα και τη βραδύτητα της κίνησης ταλάντωσης των βάζων, χάρη στις οποίες κατάφεραν να υπολογίσουν μαθηματικά τις συνηχήσεις. Παίρνοντας περισσότερα όμοια και της αυτής χωρητικότητας βάζα, άφηναν ένα άδειο και τα άλλα τα μισογέμιζαν με διάφορες ποσότητες υγρού, ώστε χτυπώντας τα στη συνέχεια να επιτυγχάνουν τους σύμφωνους φθόγγους του οκτάφθογγου 5.

            Η μελέτη των σχέσεων συνήχησης ήταν κεφαλαιώδης όχι μόνο για την κατασκευή εγχόρδων ή πνευστών μουσικών οργάνων αλλά και για την αρχιτεκτονική των θεάτρων, δεδομένου ότι και σε αυτή την περίπτωση τίθενται πολλά προβλήματα ακουστικής.

Αυτή η μουσική αρμονία διέπει ολόκληρη την αντίληψη τους για τον κόσμο.

        1. Μουσική και αστρονομία. Όταν ο Πλάτων λέει πως μουσική και αστρονομία είναι αδελφές επιστήμες (Πολιτεία, VII, 530d), μιλά λες και το δόγμα του Πυθαγόρα δεν έχει και πολλά μυστικά γι' αυτόν. Ιδού όμως ένα κεφαλαιώδες χωρίο του Θεωνά της Σμύρνης που μας δίνει να καταλάβουμε τι θα πρέπει να νοούμε ως αρμονία των ουράνιων σφαιρών:

        Σχετικά με τη θέση ή την τάξη των σφαιρών ή των κύκλων πάνω στους οποίους περιφέρονται οι πλανήτες, η γνώμη ορισμένων Πυθαγορείων είναι οι εξής: Ο κύκλος της σελήνης είναι ο εγγύτερος της Γης, αυτός του Ερμή είναι ο δεύτερος ανεβαίνοντας, έπειτα έρχεται αυτός της Αφροδίτης ενώ τέταρτος είναι του Ηλίου στη συνέχεια είναι αυτοί του Άρη και του Δία διαδοχικά, ενώ του Κρόνου είναι ο τελευταίος κι ο εγγύτερος των αστέρων. Να τι δηλώνει ο Αλέξανδρος ο Αιτωλός (...):

        Οι επτά σφαίρες μας δίνουν τους επτά φθόγγους της λύρας και παράγουν μια αρμονία (δηλαδή την οκτάφθογγο) λόγω των διαστημάτων που τους κατανέμουν ανά δύο.

        Σύμφωνα με το δόγμα του Πυθαγόρα, εφόσον στην πραγματικότητα ο κόσμος είναι αρμονικά διατεταγμένος, τα ουράνια σώματα που απέχουν ανά δύο, κατά τις αναλογίες των σύμφωνων φθόγγων, παράγουν κινούμενα, λόγω της ταχύτητας της περιστροφής τους, τους αντίστοιχους αρμονικούς φθόγγους 6.

        Ο κόσμος είναι σαν επτάχορδη λύρα. Για τους Πυθαγόρειους άρα η μουσική κλίμακα είναι ένα κοσμολογικό πρόβλημα κι η αστρονομία η θεωρία της ουράνιας μουσικής.

        2. Μουσική και αρχιτεκτονική. Η έννοια του αρμονικού διαστήματος, τη συγκρότηση της οποίας διέπει ο αριθμός, αυτή η ρίζα του παντός, απαντάται ακόμα στην καρδιά της αρχιτεκτονικής και ειδικότερα της ιερής αρχιτεκτονικής, όπου οι επιδράσεις της αιγυπτιακής παράδοσης πρέπει να ήταν καθοριστικές. Ο ελληνικός ναός είναι πραγματικά μια μουσική που πέτρωσε. Ο Γεωργιάδης, μελετώντας τα διαστήματα μεταξύ των κιόνων του Παρθενώνα και των Προπυλαίων, ανακάλυψε αριθμούς που παρουσιάζουν τις αυστηρές αναλογίες της πυθαγόρειας κλίμακας. Αυτή η παράδοση αρχιτεκτονικής αρμονίας, μαζί μ' όλες τις περίπλοκες τεχνικές της για την κατασκευή κανονικών πολυέδρων ή σχημάτων φορτισμένων με εσωτερικούς συμβολισμούς, όπως τα εξάγωνα, οι ρόδακες ή τα πεντάγραμμα, έφθασε ως τους τεχνίτες των μεσαιωνικών καθεδρικών ναών. Πρόκειται για την παράδοση που ξαναβρίσκουμε στην καρδιά του κεφαλαιώδους πονήματος του Βιτρούβιου (1ος αιώνας π.Χ.), του De architectura, ενός από τα πλέον δημοφιλή βιβλία του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης7.

        Έτσι λοιπόν είναι δυνατόν, εντός ή δια μέσου του αριθμού, της αναλογίας και της αρμονίας, να συνδεθούν χώρος και χρόνος κατά έναν τρόπο τελείως διάφορο της σύγχρονης μας αντίληψης για την ταχύτητα. Τα χρονοδιαστήματα της μουσικής και τα χωροδιαστήματα της αρχιτεκτονικής σμίγουν μέσα από τη ρυθμική τους και διέπουν την όλη αρμονική σύζευξη έκτασης και διάρκειας.

        3. Συμφωνία και συμπάθεια. Αριθμητική και μουσική, αριθμός και αρμονία είναι άρα αδιαχώριστα μεταξύ τους: μόνον μέσα τους μπορεί κανείς να βρει το μυστικό κλειδί για να κατανοήσει πραγματικά την κοσμική συμφωνία. Γεννημένη μέσα από τη συμπάθεια, η μουσική γεννά με τη σειρά της τις συμφωνίες, υπερβαίνοντας έτσι τα διαστήματα που κρατούν χωριστά τα άτομα και επιτρέποντας σ' αυτά τα τελευταία να αντηχούν το ένα το άλλο και να σχετίζονται με ό,τι τους περιβάλλει σαν φθόγγοι μέσα στην αυτή μουσική κλίμακα. Ο αριθμός, λοιπόν, εκφράζει τις σχέσεις χρόνου και χρόνων, χώρου και χώρων, σώματος και σωμάτων μαρτυρεί τη διαίρεση της ενότητας και τις ποικίλες όψεις της διαδρομής που οδηγεί και πάλι πίσω στην πηγή. Ο αριθμός είναι ταυτόχρονα τόσο η παρουσία όσο και η απόσταση των πραγμάτων, των όντων, του κόσμου φέρει μέσα του κάτι από τον διαμελισμό του Διόνυσου-Ζαγρέως αλλά κι απ' αυτήν την αρμονική επανασυμφιλίωση που γεννά η μαγεία του τραγουδιού του Ορφέα.

 

 

 V. Η πυθαγόρεια αριθμολογία

 

         Οι αριθμοί, τα σχήματα και οι όγκοι, με την ατομικότητα ή μάλλον την προσωπικότητα που τους προσέδιδε η ιδιάζουσα θέση τους στην συμπαντική συμφωνία, αποτέλεσαν, στην περίπτωση των Πυθαγορείων, το αντικείμενο ενός σκοτεινού και νεφελώδους στοχασμού, όπου πολλοί δεν είδαν παρά αμετροεπείς προλήψεις. Έτσι γεννήθηκε μια αριθμολογία που αποτελούσε, θα λέγαμε, για την αριθμητική ό,τι η αστρολογία για την αστρονομία. Όσο απίθανα κι αν μας φαίνονται αυτά τα θεωρησιακά σχήματα, δεν θα πρέπει ωστόσο να παραβλέπουμε αυτό που τα τροφοδοτούσε, μια αντίληψη δηλαδή για τον κόσμο ή, ακριβέστερα, για την ποσότητα τελείως διαφορετική από την δική μας. Οι Πυθαγόρειοι ποτέ δεν οδήγησαν το διαζύγιο ποσότητας και ποιότητας στα όρια του κατ' αυτούς οι αριθμοί διαθέτουν ένα πνευματικό στοιχείο ικανό να τους μετατρέπει σε αληθινές υπάρξεις, μη αναγώγιμες σε απλές μετρήσεις. Εδώ βέβαια δεν μπορούμε να παραθέσουμε παρά μόνον λίγα παραδείγματα8. Οι άρτιοι αριθμοί εθεωρούντο θηλυκού γένους ενώ οι περιττοί αρσενικού: Αν διαιρέσουμε και τον ένα και τον άλλο σε επιμέρους ενότητες, στο μέσον του άρτιου θα φανεί ένα κενό, εκεί που ο περιττός είναι πάντα πλήρης εξ ενός των μελών του για το λόγο αυτό οι Πυθαγόρειοι είναι της γνώμης πως ο άρτιος μοιάζει περισσότερο με θηλυκό και ο περιττός με αρσενικό 9. Ο αριθμός 3 θεωρείται τέλειος:

        Γιατί είναι ο πρώτος αριθμός που διαθέτει μια αρχή, ένα μέσον κι ένα τέλος είναι ταυτόχρονα ευθεία κι επιφάνεια, ένας πραγματικός τριγωνικός και ισόπλευρος αριθμός, του οποίου οι πλευρές έχουν πάντα την αξία δύο ενοτήτων. Τέλος, ο αριθμός 3 είναι ο πρώτος σύνδεσμος με τα στερεά και η ισχύς τους, εφόσον η ιδέα του στερεού εδράζεται σε τρεις διαστάσεις 10. To 5 είναι ο πρώτος αριθμός που προκύπτει ως άθροισμα του πρώτου θηλυκού και του πρώτου αρσενικού αριθμού. Το 6 είναι το γινόμενο του πρώτου αρσενικού και του πρώτου θηλυκού αριθμού, γι' αυτό και ονομάζεται γάμος11.

        Ένας άλλος αριθμός της δεκάδας, ο αριθμός 7, είναι προικισμένος με μια αξιοσημείωτη ιδιότητα: είναι ο μόνος αριθμός που δεν γεννά κανέναν αριθμό μεταξύ των περιλαμβανομένων στη δεκάδα και δεν γεννιέται από κανέναν τους, ιδιότητα που ώθησε τους Πυθαγόρειους να τον ονομάσουν Αθηνά, καθώς η θεά αυτή δεν γεννήθηκε από μητέρα ούτε υπήρξε ποτέ η ίδια μητέρα. Δεν προήλθε από καμιά ένωση ούτε ενώθηκε η ίδια με κανέναν (...). Το επτά είναι ο μόνος αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με κάποιον άλλον δεν γεννά κανέναν από αυτούς της δεκάδας και που δεν είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού κανενός αριθμού12.

        Ο Θέων της Σμύρνης σημειώνει πως επτά είναι οι εβδομάδες που χρειάζεται το έμβρυο για τον τέλειο σχηματισμό του, από τον έβδομο μήνα και μετά είναι βιώσιμο και στα επτά τους χρόνια τα παιδιά αλλάζουν τα δόντια τους: στη δεύτερη επταετία είναι που εμφανίζονται τα πρώτα σημάδια της εφηβείας ενώ στην τρίτη αρχίζει να αναπτύσσεται η τριχοφυΐα του προσώπου. Από τη μια ισημερία στην άλλη αριθμούμε και πάλι επτά μήνες το κεφάλι έχει επτά ανοίγματα και το σώμα διαθέτει επτά σπλάχνα. Ο αριθμός 8 συντίθεται από την μονάδα και την επτάδα. Ο αριθμός 9 είναι το πρώτο τετράγωνο μεταξύ των περιττών.

        Ο αριθμός όμως που εμφανιζόταν κατ εξοχήν προικισμένος με εξαιρετικές ιδιότητες ήταν η δεκάδα, η λεγόμενη τετρακτύς. Ο Ιάμβλιχος μας διέσωσε το τυπικό του πυθαγορείου όρκου:

        Όχι, το ορκίζομαι στ όνομα αυτού που μετέδωσε στην ψυχή μας την τετρακτύν, που μέσα της βρίσκονται η πηγή κι η ρίζα της αιώνιας φύσης .

        Της απηύθυναν ακόμα προσευχές:

        Ευλόγησε μας, θείε αριθμέ, εσύ που γέννησες θεούς κι ανθρώπους! Ω, ιερά τετρακτύς, εσύ που περικλείεις τη ρίζα και τον αιώνιον ρου της δημιουργίας! Γιατί ο θείος αριθμός αρχίζει με την αγνή ενότητα ι κι έπειτα φθάνει στο ιερό τέσσερα ύστερα γεννά τη μητέρα του παντός, που τα πάντα συνδέει, αυτήν την πρωτογενή, που ποτέ δεν ξαστοχά και ποτέ δεν κουράζεται, το ιερό δέκα που κατέχει το κλειδί του παντός .

        Ο Θέων της Σμύρνης μας λέει λοιπόν πως η τετρακτύς συμπληρώνει την ακολουθία των αριθμών, πως κλείνει μέσα της τη φύση τόσο των άρτιων όσο και των περιττών, του κινητού όσο και του ακίνητου, του καλού όσο και του κακού13. Η δεκάδα διαθέτει ακόμα την ιδιότητα να περιλαμ βάνει ίσο αριθμό πρώτων και σύνθετων αριθμών: μπορεί τέλος να παρασταθεί με το ακόλουθο σχήμα:

 

                                                                                       

                10 = 1 + 2 + 3 + 4                                        ∙     ∙

                                                                                 ∙      ∙      ∙

                                                                              ∙      ∙      ∙      ∙

 

που δείχνει σαφώς ότι 10= 1 +2 + 3 + 4. Ας προσθέσουμε ακόμα πως μεταξύ των περιλαμβανόμενων στην δεκάδα αριθμών άλλοι είναι γεννήτορες κι άλλοι γεννημένοι: το τέσσερα, για παράδειγμα, πολλαπλασιαζόμενο με το 2 γεννά το 8, ενώ και το ίδιο είναι γεννημένο από το 2. Άλλοι είναι γεννημένοι αλλά δεν γεννούν, όπως το 6 που είναι το γινόμενο του 2 επί το 3, αλλά το ίδιο δεν γεννά κανέναν από τους αριθμούς της δεκάδας άλλοι πάλι γεννούν αλλά οι ίδιοι είναι αγέννητοι, όπως το 3 και το 5, που δεν προήλθαν από κανένα συνδυασμό αριθμών αλλά γεννούν το 3 παράγει το 9 και πολλαπλασιαζόμενο με το 2 το 6, ενώ το 5 πολλαπλασιαζόμενο με το 2 δίνει το ΙΟ14. Έτσι η δεκάδα είναι πραγματικά ένας θεϊκός αριθμός, ή  όπως λέει και ο Νικόμαχος από τα Γέρασα:

        Καθώς το παν ήταν απεριόριστη πολλότητα, χρειαζόταν μια τάξη (...), έτσι μέσα στη δεκάδα προϋπήρχε μια φυσική ισορροπία μεταξύ συνόλου και στοιχείων του (...) Αυτός είναι ο λόγος που ο Θεός, διατάσσοντας με τέχνη τον κόσμο, χρησιμοποίησε λογικά τη δεκάδα σαν κανόνα των πάντων (...), αλλά είναι κι ο λόγος που τα πράγματα, από την γη ως τον ουρανό, διαθέτουν, τόσο ως σύνολα όσο κι ως μέρη, αντιστοιχίες που θεμελιώνονται και διατάσσονται σύμφωνα μ αυτήν.

    Ο στοχασμός των Πυθαγορείων εκτείνεται και στα γεωμετρικά σχήματα. Μπορούμε να αναφέρουμε, για παράδειγμα, το τρίγωνο το οποίο οι Πυθαγόρειοι αποκαλούσαν ιερό και του οποίου οι ιδιότητες ήταν ήδη γνωστές χάρη στους Αιγυπτίους. Πρόκειται για ένα τρίγωνο το μόνο οι τιμές των πλευρών του οποίου αποτελούν διαδοχή ακεραίων, 3 και 4 για τις πλευρές και 5 για την υποτείνουσα, και το οποίο διαθέτει κυρίως την πολύτιμη ιδιότητα να είναι ορθογώνιο εφόσον

                                                     32 + 42 = 52

         Η ιδιαιτερότητα αυτή παρέχει σ' έναν αρχιτέκτονα, εξοπλισμένο μ' ένα σκοινί, το οποίο φέρει 12 κόμπους σε ίση απόσταση μεταξύ τους, να χαράξει εύκολα στο έδαφος μια ορθή γωνία και άρα ένα, εγγραφόμενο σε ημικύκλιο, ορθογώνιο τρίγωνο. Πέραν αυτού, αν οι πλευρές του τριγώνου είναι 3, 4 και 5, τότε το εμβαδόν του ισούται με 6. Μεταξύ των υπόλοιπων γεωμετρικών σχημάτων, στα οποία απέδιδαν οι Πυθαγόρειοι μαγικές ιδιότητες, θα πρέπει ακόμα να αναφέρουμε το πεντάγωνο, το πεντάγραμμο ή πεντάλφα.

        Τελειώνοντας ας πούμε λίγα λόγια για τα πυθαγόρεια πολύεδρα, που διαδραμάτισαν ουσιαστικό ρόλο στην ιστορία των ιδεών και ιδιαίτερα στην ιστορία της αρχιτεκτονικής. Τα κανονικά πολύεδρα σχηματίζονται από κανονικά πολύγωνα, ίδια για κάθε πολύεδρο τα πολύεδρα αυτά είναι εγγράψιμα σε σφαίρα και είναι πέντε στον αριθμό: το τετράεδρο, το οκτάεδρο, ο κύβος, το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο. Είναι μετατρέψιμα το ένα στο άλλο, αλλά όχι οποιοδήποτε σε οποιοδήποτε. Καθένα από τα σώματα αυτά αποδίδονταν και σε ορισμένο φυσικό στοιχείο: το τετράεδρο στη φωτιά, το οκτάεδρο στον αέρα, ο κύβος στη γη, το εικοσάεδρο στο νερό και το δωδεκάεδρο σ ένα πέμπτο στοιχείο, που περικλείει όλα τα υπόλοιπα∙ την πυθαγόρεια αυτή παράδοση ξαναβρίσκουμε στον πλατωνικό Τίμαιο, ενώ έπαιξε σημαντικότατο ρόλο στην αρχιτεκτονική των καθεδρικών ναών και στην κατασκευή των βενετσιάνικων φαναριών. Την συναντάμε ακόμα στα, σχεδιασμένα από τον Λεονάρντο Ντα Βίντσι, πολύεδρα που εικονογραφούν το έργο του Λούκα Πιτσιόλι, De divina pro-portione, του 1509.

        Οι αριθμοί λοιπόν δίνουν τροφή όχι μόνον για συλλογισμούς αλλά και για όνειρα. Η περίπτωση των Πυθαγορείων το δείχνει με τον πιο σαφή τρόπο. Θα 'χε εξαιρετικό ενδιαφέρον να αναζητήσουμε το λανθάνον νόημα καθενός από αυτά τα όνειρα, που μέσα από τον έντονο συμβολισμό τους έγιναν φορείς ενός ιδιαίτερου μηνύματος.

 

  

        VI. Η μετεμψύχωση

 

         Ο Πυθαγόρας ισχυριζόταν πως διατηρούσε τις αναμνήσεις του από τις προηγούμενες ζωές του και πως αυτή η ανάμνησις του επέτρεπε να έχει διαρκώς παρόν στο νου του ό,τι είχε μάθει στις παρελθούσες υπάρξεις του. Είναι άσκοπο, πιστεύουμε, να τονίσουμε τις οφειλές του πλατωνισμού σ' αυτή τη θεωρία. Η ψυχή, κατά τους Πυθαγόρειους, είναι δαιμόνιο φυλακισμένο μεσ' στο σώμα. Κάποτε ζούσε μαζί με τους θεούς, τώρα πια όμως είναι καταδικασμένο ν' αντικρίζει τον κόσμο μόνο μέσα από τα σίδερα της φυλακής του. Με το θάνατο, η ψυχή αποχωρίζεται το σώμα και πάει στον Άδη να αποκαθαρθεί, ώστε να ξαναγυρίσει καθαρή πια και να κατοικήσει σ' ένα νέο σώμα. Κατά τις συνεχείς αυτές μετεμψυχώσεις τους, οι ψυχές εξιλεώνονται για τα σφάλματα που τυχόν διέπραξαν σε κάποια από τις παρελθούσες ζωές τους όταν κριθούν άξιες να λυτρωθούν από τη βάσανο της ύπαρξης, γνωρίζουν πλέον την αθανασία και τον ένθεο βίο.

        Τις δοξασίες αυτές ακολουθούσαν μια σειρά παραγγελμάτων, όπως η απαγόρευση της κρεοφαγίας από φόβο μην κατασπαραχθεί κάποιος γονέας ή φίλος που ξαναζεί μέσα σε κάποιο ζώο.

        Οι πολυάριθμοι ασκητικοί ηθικοί κανόνες, που τηρούσαν οι Πυθαγόρειοι, απέβλεπαν στην εγκαθίδρυση της αρμονίας μεταξύ ανθρώπων και σύμπαντος ώστε να επέλθει τελικά μια ανθρωποκοσμική ενότητα.

 

  

        VII. Οι κληρονόμοι του Πυθαγόρα 

 

        Κάποιες μεταγενέστερες παραδόσεις μεταφέρουν πως η αίρεση των Πυθαγορείων χωριζόταν στους μαθηματικούς, που κατείχαν πράγματι το δόγμα, και τους ακουσματικούς, που δεν κατείχαν παρά τα στοιχειώδη. Πολλά ονόματα Πυθαγορείων αναφέρονται σε απολύτως φανταστικά πρόσωπα, αυτά όμως που θα 'πρεπε να συγκρατήσουμε είναι ο Ιππάσιος ο Μεταποντίνος, που ήκμαζε το 538 περίπου, ο Αλκμέων από τον Κρότωνα, που ήκμαζε γύρω στο 500 και εισήγαγε τις θεωρίες των Πυθαγορείων στην ιατρική, ο Φιλόλαος, που λέγεται ότι μύησε τον Πλάτωνα στα μυστήρια της αίρεσης και, τέλος, ο Αρχύτας από τον Τάραντα, φίλος του Πλάτωνα, που ασχολήθηκε κυρίως με τη μουσική.

        Πολλά είναι τα ρεύματα της σκέψης που οφείλουν κάτι, άλλα περισσότερα κι άλλα λιγότερα, στο πυθαγόρειο δόγμα: ο Πατσιόλι, ο Παράκελσος, ο Κέπλερ συγκαταλέγονται πιθανότατα μεταξύ αυτών που δέχθηκαν την επιρροή του.

 

  

        VΙΙI. Νόημα και επικαιρότητα της πυθαγόρειας θεωρίας

 

         Οι Πυθαγόρειοι άσκησαν τεράστια επιρροή στον Πλάτωνα. Οι σκέψεις του στον Τίμαιο, η πλατωνική παρομοίωση του σώματος με φυλακή, η θεωρία της ανάμνησης, οι διάφοροι εσχατολογικοί μύθοι του μαθητή του Σωκράτη προέρχονται από μια πυθαγόρεια ή, για την ακρίβεια, από μια ορφικοπυθαγόρεια παράδοση.

        Ο Πλάτων, όμως, που έλεγε ότι: Αν τυχόν αφαιρούσαμε τον αριθμό από το ανθρώπινο γένος δεν θα 'χαμέ φτάσει ποτέ σε καμιά σοφία (Επινομίς, 977β), είδε με διαύγεια πως τα μαθηματικά δεν ήταν παρά το προοίμιο του αέρος που οφείλουμε να γνωρίσουμε. Αν παραμείνουμε σε μια αποκλειστικά ποσοτική σύλληψη του αριθμού, δεν θα διαθέτουμε παρά μια μετρητική επιστήμη που εξακολουθεί να μας αποκρύβει την αληθή μετρητική, τη γνώση δηλαδή του δικαίου μέτρου. Η επίγνωση της ποσότη τας δεν μας παρέχει την επιστήμη του μέτρου, ώστε να είμαστε σε θέση να καταδικάζουμε την υπερβολή ως σφάλμα. Αρκούμενοι απλώς σε μέτρα, δίχως την γνώση του αληθούς μέτρου, αυτού του καλού, θα βυθιστούμε στο άμετρο.

        Θα μπορούσαμε ίσως να πούμε πως ένα από τα μεγαλύτερα δράματα της εποχής μας έγκειται ακριβώς σε αυτή την κυριαρχία της ποσότητας, που δεν αφήνει περιθώρια παρά για μια ελλιπή αντίληψη του αριθμού. Εύκολα αποφαινόμαστε πως γνωρίζω σημαίνει μετρώ, αναγορεύουμε αυτάρεσκα τους εαυτούς μας σε κυρίους και κατόχους της φύσης, αναπτύσσουμε διαρκώς μια ολοένα και πιο σημαντική τεχνική ισχύ κι ωστόσο, παρ' ότι γνωρίζουμε από τι μας απελευθερώνουν η επιστήμη κι η τεχνική, παραβλέπουμε το ερώτημα για ποιον σκοπό το κάνουν.

        Οι μετρήσεις μας γίνονται όλο και πιο άμετρες: βιώνουμε την καθημερινότητα υπό το καθεστώς μιας αύξουσας τεχνολογικής βίας, που, όσο ήπια κι ανύποπτη δίνει την εντύπωση πως είναι, απέχει πολύ του να είναι ακίνδυνη. Η ανάπηρη αυτή έννοια της ποσότητας, την οποία διαθέτουμε, βρίσκει κατ' εξοχήν εφαρμογή σ' έναν νέο τομέα, τη στατιστική. Αυτή ακριβώς είναι που μας οδηγεί στη σύγχυση μέσου όρου και κανόνα, αυτού που είναι κι αυτού που πρέπει να είναι, της ποσότητας και της ποιότητας. Καταλήγει έτσι να μας είναι προφανές ότι καλό βιβλίο είναι αυτό που πωλείται κατά εκατοντάδες χιλιάδες αντίτυπα, είτε πάλι ότι εφόσον οι πωλήσεις ενός δίσκου έχουν υπερβεί το εκατομμύριο, βρισκόμαστε ενώπιον ενός αριστουργήματος. Η λατρεία του ρεκόρ και της επίδοσης εισβάλλει σε όλους τους τομείς και ξεπροβάλλει με φόντο τον παραλογισμό του σημερινού ανθρώπου, που βομβαρδίζεται από ολοένα και περισσότερες εξηγήσεις, δανειζόμενες από την επιστήμη, την ιστορία ή την πολιτική, αλλά προτιμά να αυτοαναγνωρίζεται στο πρόσωπο ηρώων του παραλόγου, που αναρριχώνται σε όλο και πιο απόκρημνες πλαγιές και βράχους, δίχως να γνωρίζουν για ποιο σ κόπο γίνεται μια τέτοια κατανάλωση δυνάμεων. Η απομάγευση των τεχνικών κοινωνιών, για την οποία μας μιλά ο Μαξ Βέμπερ, οφείλεται στο ότι ο άνθρωπος των υπεραναπτυγμένων χωρών διαθέτει σήμερα πλέον μια απειρία μέσων, τα οποία όμως είναι ανίκανος να θέσει στην υπηρεσία ενός σκοπού άξιου των προσπαθειών του και πρόσφορου να τους προσδώσει νόημα.

        Ποτέ δεν είναι ακατάλληλη η στιγμή να θυμηθούμε αυτά που ο Πυθαγόρας συμβούλευε τους μαθητές του ν' αναρωτιούνται στο τέλος της ημέρας: Τι σφάλμα διέπραξα; Τι καλό έκανα; Τι υποχρέωση παρέλειψα;.

        Η κυριαρχία της ποσότητας και της ισχύος δεν θα 'πρεπε να μας κάνουν να πιστέψουμε πως έχουμε πια απαλλαγεί του καθήκοντος να θέτουμε καθημερινά στον εαυτό μας τα τρία αυτά ερωτήματα.

    

 

        ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

 

1. Πηγές: Ιαμβλίχου (4ος αιώνας μ.Χ.), Συλλογή των Πυθαγορείων Δογμάτων, και Ιεροκλέους (5ος  αιώνας μ.Χ.), Χρυσοί Στίχοι, σχόλιο στους Νεοπυθαγόρειους.

2. Θέων ο Σμυρναίος: Τα κατά το μαθηματικόν χρήσιμα εις την Πλάτωνος ανάγνωσιν, γαλ. μτφ.

J. Dupuis, Paris, 1892: επαν. Bruxelles, 1966, σ. 65.

3. Θέων ο Σμυρναίος, όπ.π., σ. 27.

4.  Όπ.π., σ. 79.

5.  Όπ.π., σ. 97.

6.  Όπ.π., σ. 227.

7.  Βλ. ιδίως De architecture, III, 1.

8. Μπορεί κανείς να συμβουλευτεί σχετικά τα έργα των Chaignet και Delatte καθώς και τα Matila Ghyka, Φιλοσοφία και μυστικισμός του αριθμού, Paris, 1952, και E. Bindel, Τα πνευματικά στοιχεία των αριθμών, γαλ. μτφ. De Maze, Paris, 1960. Ο Θέων ο Σμυρναίος και ο Ιάμβλιχος παραμένουν κι εδώ οι κυριότερες πηγές μας.

9.  Πλουτάρχου, Ρωμαϊκά ζητήματα, CII, 288c, trad. Amyot.

10. Θέων ο Σμυρναίος, όπ.π., σ. 77, βλέπε επίσης και σ. 165.

11.  Όπ.π., σ. 169.

12.   Οπ.π., σ. 169.

13.  Όπ.π., σ. 175.

14.  Όπ.π., σ. 169: για την τετρακτύν, βλ. και Delatte, όπ.π., σ. 249.